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关于线性代数一些概念和相应的性质
时间:2024-12-23 21:09:56
答案

我是上海交大的本科生。下面的内容是我根据课堂笔记和教材整理的。

请按照以下次序,循序渐进结合习题理解记忆概念。注意何时为方阵,何时为矩阵

一、等价

两个矩阵A,B等价定义: 存在可逆矩阵P,Q, 满足 PAQ = B

即经过有限次初等变换A可变为B

性质:同型、同秩、同标准形

自反性、传递性、反身性

注:经过初等变换的含义为P、Q皆可表示成初等矩阵的乘积

二、相似

(一)两个方阵A,B相似:

定义:存在可逆矩阵P, 满足 P^-1AP = B,称P为A~B的相似变化阵

性质:同特征多项式, 同特征值, 同行列式, 同迹, 同秩,

特殊的等价:自反性、传递性、反身性

A的逆~B的逆,A的伴随矩阵~B的伴随矩阵

若存在多项式g(x),则方阵g(A)~g(B)

(二)矩阵的相似对角

定义:存在可逆矩阵P,使得P^-1AP=diag(λ1,λ2,...λn)

方阵A能相似对角的充要条件:①A有n个线性无关的特征向量

②对每一个特征值都有代数重数=几何重数

推论:①对角矩阵主对角线的值为方阵A的特征值λ,P的列向量为A的特征向量ξ,且λ与ξ的次序一一对应

②A的n个特征值互不相同(方阵A能相似对角的充分非必要条件)

*与单位矩阵相似的矩阵仍为单位矩阵

三、合同

两个方阵A,B合同定义:存在可逆矩阵P, 满足 P^TAP = B,称P为合同变换阵

性质:A与B同型、同秩、同正惯性指数

特殊的等价:自反性、传递性、反身性

若A正定,则B也正定

*与单位矩阵合同的矩阵是同阶所有正定阵

P.S.我们学校的教材和相关的辅导书还是挺不错的,辅导书人手三本,推荐你使用

教材:线性代数(第二版),科学出版社,上海交通大学数学系编

辅导书皆为上海交通大学出版社:①线性代数习题与精解 ②线性代数解题方法与技巧,我的线代老师王纪林编的 ③线性代数试卷剖析

网易公开课有MIT教授讲线性代数,数形结合做得非常好。可惜国内教材在这点上普遍缺乏,过于注重解题技巧,其中包括清华(其实他们的辅导书线性代数学习指南在我们这里口碑还是不错的,仅仅是针对帮助考试而言),当然还有上海交大。

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