向量空间的定义是线性代数的中心内容和基本概念之一。在解析几何里引入向量概念后，使许多问题的处理变得更为简洁和清晰，在此基础上的进一步抽象化。

线性空间是在考察了大量的数学对象（如几何学与物理学中的向量，代数学中的n元向量、矩阵、多项式，分析学中的函数等）的本质属性后抽象出来的数学概念，近代数学中不少的研究对象，如赋范线性空间、模等都与线性空间有着密切的关系。

它的理论与方法已经渗透到自然科学、工程技术的许多领域。哈密顿首先引进向量一词，并开创了向量理论和向量计算。格拉斯曼最早提出多维欧几里得空间的系统理论。1844至1847年，他与柯西分别提出了脱离一切空间直观的、成为一个纯粹数学概念的、抽象的n维空间。

若 V 和 W 都是域F上的向量空间，可以设定由V到W的线性变换或“线性映射”。这些由V到W的映射都有共同点，就是它们保持总和及标量商数。这个集合包含所有由V到W的线性映射，以 L来描述，也是一个域F上的向量空间。

当V及W被确定后，线性映射可以用矩阵来表达。同构是一对一的一张线性映射。如果在V 和W之间存在同构，我们称这两个空间为同构；域F上每一n维向量空间都与向量空间F同构。一个在F场的向量空间加上线性映射就可以构成一个范畴，即阿贝尔范畴。

向量的发展及应用

从数学发展史来看，历史上很长一段时间，空间的向量结构并未被数学家们所认识，直到19世纪末20世纪初，人们才把空间的性质与向量运算联系起来，使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系．向量能够进入数学并得到发展，首先应从复数的几何表示谈起。

在物理中，向量就是矢量，是物理学中最重要的物理量。物理中的矢量是向量的原型，向量及其运算是物理中矢量及其运算的抽象。因此，向量在物理中有广泛应用是不言而喻的。向量与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系。