微积分的基本公式包括微分和积分两个方面。以下是相关公式的改写和润色，同时纠正了可能的错误，并确保了语义的准确性。

微分公式：

1. 基本函数微分公式

- \( \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} \)

- \( \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x \)

- \( \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x \)

- \( \frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x \)

- \( \frac{d}{dx}(\cot x) = -\csc^2 x \)

- \( \frac{d}{dx}(\log_a x) = \frac{1}{x\ln a} \)

- \( \frac{d}{dx}(a^x) = a^x\ln a \)

- \( \frac{d}{dx}(e^x) = e^x \)

- \( \frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x} \)

2. 微分本身的运算公式

- \( \frac{d}{dx}(kf(x)) = k\frac{df}{dx}(x) \)

- \( \frac{d}{dx}(f(x) + g(x)) = \frac{df}{dx}(x) + \frac{dg}{dx}(x) \)

- \( \frac{d}{dx}(f(x) - g(x)) = \frac{df}{dx}(x) - \frac{dg}{dx}(x) \)

- \( \frac{d}{dx}(f(x)g(x)) = g(x)\frac{df}{dx}(x) + f(x)\frac{dg}{dx}(x) \)

- \( \frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{f(x)g'(x) - g(x)f'(x)}{[g(x)]^2} \)

积分公式：

1. 基本公式

- \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \)

- \( \int \sin x dx = -\cos x + C \)

- \( \int \cos x dx = \sin x + C \)

- \( \int \tan x dx = \ln|\sec x| + C \)

- \( \int \cot x dx = \ln|\sin x| + C \)

- \( \int e^x dx = e^x + C \)

- \( \int a^x dx = \frac{a^x}{lna} + C \)

- \( \int \ln x dx = x\ln x - x + C \)

- \( \int \log_a x dx = \frac{x\ln x - x}{lna} + C \)

2. 复合函数运算公式

- \( \int f(g(x))g'(x) dx = F(g(x)) + C \)

3. 积分方法

- 第一换元法（凑微分法）

- 第二换元法，通过替换如根号、高次等不便积分的部分。

- 分部积分法

- \( \int u dv = uv - \int v du \)

定积分可以使用牛顿-莱布尼茨公式计算，这是微积分基本定理的应用。以上是微积分运算的一个较为全面的法则列表。