二阶以及二阶以上的导数，统称高阶导数。高阶导数的四大解法：
所谓[公式]阶四公式，即幂函数、指数函数、对数函数、三角函数最简单形式的 [公式]阶导数的值。
幂函数
[公式]
指数函数
[公式]
对数函数
[公式]
【注意】由[公式]，有 [公式]
三角函数
[公式]
【注意】[公式]
但是通常，题目不会直接让我们求这四个函数，一般我们要求的，都是[公式]阶四公式形式的函数，比如说，求的是 [公式] ，[公式] ， [公式]。
我们只要记住了形式简单的[公式] 阶四公式，就可以很快地推出 [公式] 阶四公式形式的函数。
[公式] 的 n 阶导数。（答案在文末，题号为 ①）
我们可以通过求导验证答案是否正确，例如对于 [公式] 的导数，我们可以计算出答案为 [公式]。
好，现在，停下来，休息一下，放松地思考一下，下面两个问题：
[公式] ，[公式] ， [公式]
问题难度适中，相信你能思考出来。
接下来，我们使用 n 阶四公式形式的函数解决问题。
例题：已知函数 [公式] ，则 [公式] .
解：如果按原来的 [公式] 的形式一次次求导，感觉会有点复杂，尝试将其化成 n 阶四公式形式，即
[公式]
这样一来，对[公式] 求 n 阶导就相当于分别对 [公式] 和 [公式] 求 n 阶导然后相减。
根据 n 阶四公式中对数函数的 n 阶导数的值，我们可以快速推导出
[公式] ，所以
[公式] ，则有
[公式]
小结：问题解答完成，由此可见，对于一个复杂的函数，可以化成 多个n 阶四公式形式的函数，再利用 n 阶四公式，快速推导其出 n 阶导数的值，进而求得复杂函数的 n 阶导数的值。
接下来，我们尝试用上面的方法解决习题。
习题：已知函数 [公式] ，求 [公式] .（答案在文末，题号为②）
通过化简并使用 n 阶四公式法，我们可以找到解决此问题的关键步骤。
接下来，我们介绍莱布尼茨公式。
例题：已知函数 [公式]，当 [公式] 时， [公式] .
解：看着像两个函数相乘的形式，并且 [公式] 在导数大于2后为0，所以可以考虑一下使用莱布尼茨公式。则有，
[公式]
因为[公式] ，
[公式] ，
[公式] ，
[公式] ， [公式] .
所以[公式]
故[公式] .
小结：例题解答完成，通过观察我们可以发现，莱布尼茨公式解 n 阶导数适用于：
这样的函数。
当遇到这样的函数时，使用莱布尼茨公式。对于求其中需要求 n 阶导数的（本题中是 [公式] ），需要变形成 n 阶四公式形式（即方法一），然后利用 n 阶四公式推导进行解决。
此外，当要求的是[公式] 时，有的项其实并不需要计算。比如在本题中， [公式] 的前面两项是不需要计算的。
例题讲完了，你现在能解决下面这一道习题吗？
习题：函数 [公式] 在 [公式] 处的 [公式] 阶导数 [公式] .（答案在文末，题号为③）
使用莱布尼茨公式法，我们可以通过对给定函数的多项式形式进行分解来找到答案。
接下来，我们介绍泰勒公式化多项式。
例题：已知函数 [公式] ，则 [公式] .
解：使用前面两种方法似乎解决不了本题，尝试使用泰勒公式。
由麦克劳林公式，得
[公式]
取[公式] ，根据多项式求导的性质，由
展开式中[公式] 项的系数是 [公式]
小结：根据我个人的经验，利用莱布尼茨公式法和泰勒公式化多项式是考察比较多的，而且常常这两种方法是同一道题的两种解法。
之所以把变形成 n 阶四公式法放在第一个，是因为这种方法最基础的方法，并且在一些时候，这种方法也是后面这两种方法的基础，起到辅助解题的作用。
这次，请你尝试用泰勒公式化多项式法，解决一下，上面莱布尼茨公式法的习题吧。
习题：函数 [公式] 在 [公式] 处的 [公式] 阶导数 [公式] .（答案在文末，题号为④）
使用泰勒公式化多项式法，我们可以通过展开给定函数来找到答案。
最后，我们介绍观察规律法。
例题：已知函数 [公式] 在 [公式] 上连续，且 [公式] ，当 [公式] 时， [公式].
解：尝试按上面三种套路思考，发现似乎都行不通，于是尝试使用观察规律法。
观察、思考，不难想到[公式] 在导数等于 3 后会变成 0。于是尝试对 [公式] 求前 3 次导数。
[公式] ，
[公式] ，
[公式] ，则
[公式]
而[公式] ， [公式] ， [公式]
因此[公式]
小结：观察规律法，通常是尝试求前几阶导数，然后进行观察，总结导数可能存在的规律。而且有时后，在求解前一二阶导数后，便可以使用前面的三种方法解决了。
习题：已知函数 [公式] ，求 [公式] .
使用观察规律法，我们可以通过求解前几阶导数来找到答案。
答案
①[公式]
②[公式]
③[公式]
④[公式] 。注意化 [公式] ，然后再泰勒展开。
⑤[公式]