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数学 不定方程
时间:2024-12-23 21:18:30
答案

1.在长为158米的地段铺设水管,用的是长17米和长8米的两种同样粗细的水管,问两种长度的水管各用多少根(不截断)正好铺足158米长的地段?

由于总长度为158米,那么17米长的水管至多用9根,可以假设17米长的水管用了9、8、7、6、5、4、3、2、1根,再看剩余的长度是否恰好是8米的整数倍。

 这个办法是将17米长的水管可取的各种可能性逐个列举,再看哪种情况合适,这种办法称为穷举法。当可取的情况很多时,这种办法当然不能令人满意,但当情况较少时,还是可行的。

 如设17米长的水管用了x根,8米长的水管用了y根,可列出方程

 17x+8y=158 (1)

 本题要求这个方程的正整数解。

 我们用下面的方法来求这个方程的整数解。先将方程变形为:

 8y=158-17x (2)

 8y=152+6-16x-x (3)

 由于152和16x均为8的倍数,因此6-x也应是8的倍数,x只能取6才有可能,用6代x从(2)中可算出y=7。

 故17米水管用了6根,8米水管用了7根。

 也可由方程(2)两端同除以8得

y=158-17x/8 y=152+6-16x-x/8 y=19-2x+(6-x)/8

由于x、y是整数,19-2x也是整数,故可知6-x/8也是整数。显然只当x=6时,6-x/8为整数。此时 6-x/8=0,y=7

这种解法叫做整数离析法或整数分离法。

2.大汽车能容纳54人,小汽车能容纳36人,现有378人要乘车,问要大、小汽车各几辆才能使每个人都能上车且各车都正好坐满。

分析:设需大车x辆,小车y辆,可得方程

 54x+36y=378

 由(54,36)=18,18|378,原方程可化为

 3x+2y=21

 且一定有整数解。

 容易看到x=1,y=9就是3x+2y=21的整数解,那么,3x+2y=21的所有整数解为

x=1+2t y=9-3t

 t为任意整数。

 3x+2y=21除t=0时,有整数解x=1,y=9之外,

 当t=1时,有整数解x=3,y=6。

 当t=2时,有整数解x=5,y=3。

 当t=3时,有整数解x=7,y=0。

 因此,可要大车1辆,小车9辆;或大车3辆,小车6辆;或大车5辆,小车3辆;也可只要7辆大车,不要小车,都能使378名乘客都上车且车都坐满。

 当t≤4时,由于y不再是0和正整数,从而使解失去实际意义。

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