设 ：是任何维的一般旋转矩阵。

两个向量的点积在它们都被一个旋转矩阵操作之后保持不变。从而得出旋转矩阵的逆矩阵是它的转置矩阵。这里的是单位矩阵。 

一个矩阵是旋转矩阵，当且仅当它是正交矩阵并且它的行列式是单位一。

正交矩阵的行列式是 ±1；

如果行列式是 −1，则它包含了一个反射而不是真旋转矩阵。 旋转矩阵是正交矩阵，如果它的列向量形成 的一个正交基，就是说在任何两个列向量之间的标量积是零(正交性)而每个列向量的大小是单位一(单位向量)。 

任何旋转向量可以表示为斜对称矩阵 A的指数: 这里的指数是以泰勒级数定义的而 是以矩阵乘法定义的。

A 矩阵叫做旋转的“生成元”。旋转矩阵的李代数是它的生成元的代数，它就是斜对称矩阵的代数。生成元可以通过 M 的矩阵对数来找到。 

编辑本段的二维空间，在二维空间中，旋转可以用一个单一的角 θ 定义。

作为约定，正角表示逆时针旋转。

把笛卡尔坐标的列向量关于原点逆时针旋转 θ 的矩阵是: 　　cosθ -sinθ。sinθ cosθ 。

编辑本段三维空间，在三维空间中，旋转矩阵有一个等于单位一的实特征值。

旋转矩阵指定关于对应的特征向量的旋转(欧拉旋转定理)。

如果旋转角是 θ，则旋转矩阵的另外两个(复数)特征值是 exp(iθ) 和 exp(-iθ)。

从而得出 3 维旋转的迹数等于 1 + 2 cos(θ)，这可用来快速的计算任何 3 维旋转的旋转角。 　　

3 维旋转矩阵的生成元是三维斜对称矩阵。因为只需要三个实数来指定 3 维斜对称矩阵，得出只用三个是实数就可以指定一个3 维旋转矩阵。 　　

生成旋转矩阵的一种简单方式是把它作为三个基本旋转的序列复合。

关于右手笛卡尔坐标系的 x-, y- 和 z-轴的旋转分别叫做 roll, pitch 和 yaw 旋转。因为这些旋转被表达为关于一个轴的旋转，它们的生成元很容易表达。

绕 x-轴的旋转定义为: 这里的 θx 是 roll 角。 

绕 y-轴的旋转定义为: 这里的 θy 是 pitch 角。

绕 z-轴的旋转定义为: 这里的 θz 是 yaw 角。 　　

在飞行动力学中，roll, pitch 和 yaw 角通常分别采用符号 γ, α, 和 β；但是为了避免混淆于欧拉角这里使用符号 θx, θy 和 θz。 　　

任何 3 维旋转矩阵 都可以用这三个角 θx, θy, 和 θz 来刻画，并且可以表示为 roll, pitch 和 yaw 矩阵的乘积是在中的旋转矩阵在中所有旋转的集合，加上复合运算形成了旋转群 SO(3)。这里讨论的矩阵接着提供了这个群的群表示。

更高维的情况可参见 Givens旋转。 

角-轴表示和四元数表示　　

在三维中，旋转可以通过单一的旋转角 θ 和所围绕的单位向量方向 来定义。 　　

这个旋转可以简单的以生成元来表达:在运算于向量 r 上的时候，这等价于Rodrigues旋转公式：角-轴表示密切关联于四元数表示。

依据轴和角，四元数可以给出为正规化四元数 Q: 这里的 i, j 和 k 是 Q 的三个虚部。 

欧拉角表示：在三维空间中，旋转可以通过三个欧拉角 (α,β,γ) 来定义。

有一些可能的欧拉角定义，每个都可以依据 roll, pitch 和 yaw 的复合来表达。依据 "z-x-z" 欧拉角，在右手笛卡尔坐标中的旋转矩阵可表达为: 进行乘法运算生成。

因为这个旋转矩阵不可以表达为关于一个单一轴的旋转，它的生成元不能像上面例子那样简单表达出来。

对称保持 SVD 表示：对旋转轴 q 和旋转角 θ，旋转矩阵 　　这里的的纵列张开正交于 q 的空间而 G 是 θ 度 Givens 旋转。