伴随矩阵的行列式与原矩阵的行列式的关系如下:
1、行列式的乘积关系:det(adj(A)) = det(A)^(n-1)
这意味着伴随矩阵的行列式等于原矩阵行列式的(n-1)次幂,其中n为矩阵的阶数。
2、逆矩阵的表示:A^(-1) = (1/det(A)) * adj(A)
这个关系式表明,原矩阵的逆矩阵可以通过伴随矩阵除以原矩阵的行列式来得到。
3、对于关系式1,我们来考虑一个可逆矩阵A和其伴随矩阵adj(A)。根据伴随矩阵的定义,我们知道adj(A)的每个元素都是原矩阵A的代数余子式,记作C_{ij}。那么我们可以构建一个新的矩阵B,其中B的第i行第j列元素等于C_{ij}。可以证明,B的转置矩阵即为adj(A)。
4、由于C_{ij}是A的代数余子式,通过行列式的性质,我们知道它们满足以下关系式:C_{ij} = (-1)^(i+j) * M_{ji},其中M_{ji}表示A的子矩阵A_{ji}的行列式。因此,B的第i行第j列元素等于(-1)^(i+j) * M_{ji},即B的行列式等于adj(A)的行列式。而根据原矩阵的行列式的定义,我们知道det(A)等于A的所有行列式代数余子式的和。