矩阵秩的不等式总结如下：

1. 矩阵A的秩r(A)定义为非零子式的最高阶数，非零矩阵秩至少为1，秩为0表示矩阵为零矩阵。

2. 如果A是m*n矩阵，其秩与构成它的行向量组或列向量组秩相等，非零矩阵秩等于向量组的最大线性无关向量个数。

3. 初等变换不改变矩阵秩，秩等于r(AAT) = r(ATA) = r(A)。

4. 对于可乘矩阵B，有r(AB) = r(A) * r(B)，如果AB=0，秩的关系则由Sylvester不等式证明。

5. 矩阵秩与加法和伴随矩阵有关：r(A+B) ≤ r(A) + r(B)，且r(A*) = n-r(A)（A为方阵）。

6. 矩阵秩与矩阵的零性密切相关，秩小于n-1意味着矩阵为零矩阵。

这些不等式和性质展示了矩阵秩在计算和理解矩阵性质中的核心作用，是矩阵理论中的基本工具。