图一，作法：连接AB并延长交直线L于C点(若AB与L斜交的话)，求线段AC与BC的比例中项√(AC*BC),在直线L与CA交成锐角α的半直线上取CO=√(AC*BC),那么O点即为所求。图一。

证明：1、过A、B、O三点作圆⊙Y,∵CO=√(AC*BC),∴CO是⊙Y的切线，∠AOB为圆周角，

直线L上任意异于O点的另一点O'对AB的张角AO'B是圆外角，必有∠AOB＞∠AO'B；

2，尽管在CO的反向延长线上也可以找到另一点O",满足CO"=√(AC*BC),但易见∠AO"B＜∠AOB,

所以O点符合题目要求。

讨论：1、当AB∥直线L时，AB的垂直平分线与L的交点就是O点；

2、一般情况一解，当AB⊥直线L时两解（在C点两侧各有一解）。

附注，求两线段比例中项方法：图二，已知直线上顺次A、B、C三点，以AC为直径划圆⊙M,

过B作BD⊥AC,交⊙M于D，则CD为AC与BC的比例中项。这是因为BD是直角三角形ADC中斜边上的高，据射影定理有CD²=AC*BC.。