久期，一篇科普性质的文章可见：

本文将稍显晦涩。

债券价格，首先明确，是其产生的未来现金流按到期收益率贴现的现值。

市场中有利率期限结构，它是即期利率曲线，由各种期限的无风险零息债券到期收益率构成。

用[公式] 表示现金额， [公式] 表示利率期限结构中的到期收益率，则：

[公式]

[公式]

久期和凸性，我们关心的是利率变动和价格之间的关系。如果到期收益率有一个微小的变化，债券价格的变化应该是债券价格的全导数：

[公式]

建立实用的久期概念，我们做一系列近似。假设到期收益率曲线在变化时平行移动，提出一个近似的共同因子，便有：

[公式]

用[公式] 表示一笔现金的现值，用 [公式] 表示折现因子，上式也可以写成：

[公式]

考察[公式] ，这刻画了市场利率变化时债券价格的变化程度。于是定义：

[公式]

这是修正久期。

修正久期是最精确、最常用的久期，但历史上还有比率久期和金额久期两种久期。

根据姚长辉教授《固定收益证券：定价与利率风险管理》一书，比率久期即麦考利久期为：

[公式]

相应的，金额久期为：

[公式]

凸性，上述过程仅考虑了利率变动与价格变动的线性关系，由于现实中总有[公式] ，我们需要考察：

[公式]

这是由债券价格的泰勒展开而来。

定义修正凸性：

[公式]

故而得到：

[公式]

存在一年付息[公式] 次的情况，此时有：

[公式]

根据姚长辉教授《固定收益证券：定价与利率风险管理》一书，比率凸性为：

[公式]

相应的，金额凸性为：

[公式]

久期和凸性的性质，当得到修正久期和修正凸性后，实际上已经有：

[公式]

久期和凸性始终是刻画风险的指标，我们并不期望用他们去估计价格。

在投资组合里，久期与凸性具有可以线性相加的优良性质。

久期越大的债券，价格对利率越敏感，利率下降带来的价格提升与利率提升带来的价格下降都会更大；凸性大的债券利率下降带来的价格会更大，而利率提升带来的价格会更小。

有效久期与有效凸性，由于有时候证券的情况更加复杂，例如有不确定的现金流、含权等等，我们提出有效久期与有效凸性的概念。

久期和凸性的封闭式公式，Jess H. Chua 于 1984 年在《Financial Analysts Journal》上给出了计算久期的封闭式公式：

[公式]

这是说有：

[公式]

进而：

[公式]

注意到：

[公式]

于是有：

[公式] [公式]

代回即得：

[公式]

到期收益率曲线水平，且每期利息不变时，凸性也有对应的封闭式公式，只需把[公式] 的表达式写为封闭形式，然后两次求导即可。