抛物线的三种解析式：一般式、顶点式、交点式。

1、一般式：y=ax^2+bx+c（其中，a、b、c为常数，a≠0）。

2、顶点式：y=a（x-h）^2+k（a≠0），其中（h，k）为抛物线的顶点坐标。

3、交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0），仅限于与x轴有交点A（x1，0）和B（x2，0）的抛物线。

4、抛物线的定义：

抛物线是指平面内与一定点和一定直线（定直线不经过定点）的距离相等的点的轨迹。其中定点叫抛物线的焦点，定直线叫抛物线的准线。

5、抛物线的特性：

①抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 x= -b/2a。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）。

②抛物线有一个顶点P，坐标为 P( -b/2a，（4ac-b²）/4a）。当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b²-4ac=0时，P在x轴上。

③二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。

④一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。

抛物线在数学中的作用：

1、描述和解决几何问题：

抛物线是平面曲线的一种，其形状和性质在几何学中经常被研究和应用。它与其他几何图形（如直线、圆等）的关系也是数学研究的重要问题之一。

3、描述物理现象：

抛物线也出现在物理学的领域中，例如在抛物运动中，物体的路径可以用抛物线来描述。

4、构建函数和模型：

在数学分析和函数代数中，抛物线也常常被用来构建各种函数和模型，用于解决数学问题。

5、图像处理和计算机视觉：

抛物线在图像处理和计算机视觉领域也有应用，例如在图像增强、降噪、边缘检测等方面。