超越数是不能满足任何整系数代数方程的数。这即是超越数是代数数的相反，也即是说若 x 是一个超越数，那麽对于任何整数 $a\_n,\; a\_\{n\_1\},\; \backslash ldots,\; a\_0$ 都符合：

$a\_n\; x^n\; +\; a\_\{n-1\}\; x^\{n-1\}\; +\; \backslash ldots\; +\; a\_2\; x^2\; +\; a\_1\; x\; +\; a\_0\; \backslash ne\; 0$

超越数的例子包括：

刘维尔 (Liouville) 常数：$\backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\; 10^\{-k!\}\; =\; 0.110001000000000000000001000\backslash ldots$

它是第一个确认为超越数的数，是于 1844年刘维尔发现的。

e

$e^a$，其中 a 是代数数。

π

$e^\backslash pi$

$2^\{\backslash sqrt\{2\}\}$。

更一般地，若 a 为零和一以外的任何代数数及 b 为无理代数数则 $a^b$ 必为超越数。希尔伯特第七问题便是问若 b 只是无理数那麽 $a^b$ 是否也是超越数。此问题到目前为止还未解决。

sin 1

ln a，其中 a 为非一正有理数。

Γ (1/3) 及 Γ (1/4)（参见伽傌函数）。

所有超越数构成的集是一个不可数集。这暗示超越数远多于代数数。可是，现今发现的超越数极少，因为要证明一个数是超越数或代数数是十分困难的。

超越数的发现令一些古代尺规作图问题的不可能性得以证明。这包括着名的化圆为方问题，因 π 是超越数而被确定为不可能的了。