首先为什么要有初始条件?

因为方程对时间有导数

解微分方程,从某种意义上来说就是求积分

而我们知道做不定积分的时候会出现一个常数C,

初始条件就是用来定这个C的

其次,有多少阶导数就需要多少个初始条件,因为求有两次导数的微分方程,可以看成需要积分两次,故而有两个待定常数.例如y''=f(y,t),一般需要两个初始 y(0),y'(0)

说完初始条件,我们来说边界条件

偏微分方程顾名思义指有多种导数,不一定只有t的导数

例如dy/dt+dy/dx=0

此时我们可以认为需要积分两次,对变量t一次,对x一次,所以也有两个待定常数

其中一个与t直接有关,所以需要y(t=0),另一个需要y(x=x0),一共两个.

再解释初始和边界条件的区别.

其实,初始条件是边界条件的特例

因为边界条件可以指任何地方,可以指定x(-1000),x(20000)

但是初始条件一般必然指t=0,很少会有t=t0>0

但是时间一般不会是负的,这是和边界条件主要的区别.