梯度和方向导数是描述多元函数性质的重要工具。向量[公式]，即函数u(x,y,z)在点P(x,y,z)处的梯度，直观地给出了函数在该点变化最快的方向和速率。方向导数[公式]则衡量了函数沿着特定方向的变化趋势。

定理1表明，如果函数z(x,y)在某点可微，那么在该点的任何方向上都存在方向导数，其表达式为[公式]。三元函数形式的定理2进一步扩展了这一概念。

梯度gradu的具体表达式为[公式]，它在几何上代表了函数在空间中的切线方向。通过梯度，我们可以分析切线与法平面的关系，例如，切线向量可以通过参数方程s={x'(t),y'(t),z'(t)}表示，其切线方程为[公式]，进而可以求得相应的法平面方程。

对于向量函数A(t)={x(t),y(t),z(t)}，如果在给定的邻域内它以常向量B为极限，即[公式]，则说明函数沿着B的方向趋于某种特定的极限行为。

最后，讨论的是切平面与法线，切平面的法向量由[公式]给出，这是确定平面与函数图形关系的关键，对于理解函数在空间中的形状至关重要。