函数极限的定义是：设函数f(x)在点x。的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ ，使得当x满足不等式0<|x-x。|<δ 时，对应的函数值f(x)都满足不等式：

|f(x)-A|<ε

那么常数A就叫做函数f(x)当x→x。时的极限。

下面根据上面的定义证明唯一性。 反证法， 假设另外还存在一个A1为f(x)在x0处的极限，且 |A1-A|>0.

取定义中的 ε=|A1-A|/2，

存在正数δ1 ，使得当x满足不等式0<|x-x。|<δ1 时，对应的函数值f(x)都满足不等式：

|f(x)-A|<ε

存在正数δ2 ，使得当x满足不等式0<|x-x。|<δ2 时，对应的函数值f(x)都满足不等式：

|f(x)-A1|<ε

设 δ=min(δ1，δ2), 即为δ1，δ2中小的那个。则当x满足不等式0<|x-x。|<δ 时，对应的函数值f(x)都满足不等式：

|f(x)-A|<ε和 |f(x)-A1|<ε

于是 |A-A1| <= |A-f(x)| + |f(x)-A1| < 2ε = |A1-A|.

矛盾！ 所以极限唯一。

祝学业有成。