行列式的计算方法
1.递推法
例1 求行列式的值:
(1)
的构造是:主对角线元全为;主对角线上方第一条次对角线的元全为,下方第一条次对角线的元全为1,其余元全为0;即为三对角线型。又右下角的(n)表示行列式为n阶。
解 把类似于,但为k阶的三对角线型行列式记为。
把(1)的行列式按第一列展开,有两项,一项是
另一项是
上面的行列式再按第一行展开,得乘一个n – 2 阶行列式,这个n – 2 阶行列式和原行列式的构造相同,于是有递推关系:
(2)
移项,提取公因子β:
类似地:
(递推计算)
直接计算
若;否则,除以后移项:
再一次用递推计算:
∴, 当β≠α (3)
当β = α,从
从而。
由(3)式,若。
∴
注 递推式(2)通常称为常系数齐次二阶线性差分方程.
注1 仿照例1的讨论,三对角线型的n阶行列式
(3)
和三对角线型行列式
(4)
有相同的递推关系式
(5)
(6)
注意
两个序列
和
的起始值相同,递推关系式(5)和(6)的构造也相同,故必有
由(4)式,的每一行都能提出一个因子a ,故等于乘一个n阶行列式,这一个行列式就是例1的。前面算出,故
例2 计算n阶范德蒙行列式行列式
解:
即n阶范德蒙行列式等于这n个数的所有可能的差的乘积
2.拆元法
例3:计算行列式
解
①×(x + a)
②×(x – a)
3.加边法
例4 计算行列式
分析:这个行列式的特点是除对角线外,各列元素分别相同.根据这一特点,可采用加边法.
解
4.数学归结法
例5 计算行列式
解:
猜测:
证明
(1)n = 1, 2, 3 时,命题成立。假设n≤k – 1 时命题成立,考察n=k的情形:
故命题对一切自然数n成立。
5.消去法求三对角线型行列式的值
例6 求n阶三对角线型行列式的值:
(1)
的构造是:主对角线元全为2,主对角线上方第一条次对角线与下方第一条次对角线的元全为1,其余的元全为0。
解 用消去法,把中主对角线下方第一条次对角线的元1全部消成0:首先从第二行减去第一行的倍,于是第二行变为
其次从第三行减去第二行(指新的第二行,以下同)的倍,则第三行变为
再从第四行减去第三行的倍,则第四行变为
类似地做下去,直到第n行减去第n – 1行的倍,则第n行变为
最后所得的行列式为
(2)
上面的行列式是三角型行列式,它的主对角线元顺次为
93)
又主对角线下方的元全为0。故的值等于(3)中各数的连乘积,即。
注3 一般的三对角线型行列式
(4)
也可以按上述消去法把次对角线元全部消去,得到一个三角型行列式,它的值等于该三角型行列式的主对角线元的连乘积。
6 乘以已知行列式
例7 求行列式的值:
称为循环行列式,各行自左到右均由循环排列而得,并使主对角线元全为
解 设1的立方根为,即
其中i是虚数单位,又
右乘以行列式
则
(1)
用,得
故(1)的行列式的第一列可由提出公因子,提后的元顺次为,类似地,(1)的行列式的第二列和第三列可提出公因子
和
于是
因互不相等,帮它们所构成的凡德蒙行列式的值不为零,可以从上式的左右两边约去,得
。
注4 在n阶的一般情形,设1的n次方根为
则得行列式的值为
这里的是由构成的n阶循环行列式:
7 利用线性代数方程组的解
例8 求n阶行列式的值:
(1)
的构造是:第i行的元顺次为
又第n行的元顺次为。
解 (1)的行列式与凡德蒙行列式
(2)
的比值可以看成线性代数方程组
(3)
的解。如能解出,乘以凡德蒙行列式(2),即是原行列式
但方程组(3)又可以看成n次多项式方程
(4)
(t是未知数,看作系数)有n个根
用根与系数的关系,即得
∴
8 递推方程组方法
例9 求行列式的值:
(1)
是n阶行列式(在右下角用(n)表示),其结构是:主对角线元全为x ;主对角线上方的元全为y , 下方的元全为z 。
解 从 (1)的行列式的第一列减第二列,第二列减第三列,…,第n – 1列减第n列,得
(2)
上面的行列式按第一行展开,有两项,一项是(x – y)乘一个n – 1阶行列式,这个n – 1阶行列式和(2)中的n阶行列式的构造相同,即上述展开的第一项可表示为;展开的另一项是
故递推式
(3)
若z = y,则上式化为
(4)
类似地有
又
故可对(4)式递推计算如下:
上面得到原行列式当z = y时的值。下面讨论z≠y的情形。
把(1)的行列式的y与z对调,这相当于原行列式的行与列互换,这样的做法,行列式的值不变。于是y和z对调后,的值不变,这时(3)式变为
(5)
从(3)与(5)(递推方程组)消去,即(3)式乘以(x – z),(5)乘以(x – y),相减得
∴
注5 当z = y时,行列式也可以用极限计算:
又行列式当z = y时可以用余式定理来做。