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正态分布的特征函数证明
时间:2024-12-23 18:58:42
答案

特征函数是指随机变量的复数值函数,可以唯一地确定该随机变量的概率分布。对于正态分布,其特征函数可以通过如下方式证明:设X是一个正态分布的随机变量,其概率密度函数为:f(x) = (1 / (σ * √(2π))) * exp(-((x-μ)^2) / (2 * σ^2))其中,μ为均值,σ为标准差。特征函数定义为:?(t) = E[e^(itX)]其中,i为虚数单位,t为实数。要证明正态分布的特征函数,可以先计算e^(itX)的期望值。由于正态分布是连续型随机变量,可以使用积分计算期望值。E[e^(itX)] = ∫[?∞,∞] e^(itx) * f(x) dx将f(x)代入,得到:E[e^(itX)] = ∫[?∞,∞] e^(itx) * ((1 / (σ * √(2π))) * exp(-((x-μ)^2) / (2 * σ^2))) dx根据指数函数的性质,上述式子可以进一步化简为:E[e^(itX)] = (1 / (σ * √(2π))) * ∫[?∞,∞] exp(-((x-μ)^2) / (2 * σ^2) + itx) dx使用换元法,令u = (x - μ) / σ,进行变量替换后得:E[e^(itX)] = (1 / (σ * √(2π))) * ∫[?∞,∞] exp(-((uσ + μ - μ)^2) / (2 * σ^2) + it(uσ + μ)) σ du简化后得:E[e^(itX)] = (1 / √(2π)) * ∫[?∞,∞] exp(-((σu)^2) / 2 + itσu) du根据高斯积分公式,上述式子进一步简化为:E[e^(itX)] = exp(itμ + (σ^2 * t^2) / 2)即为正态分布的特征函数。综上所述,正态分布的特征函数为:?(t) = exp(itμ + (σ^2 * t^2) / 2)

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