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概要：

概形（scheme）是局部为affine scheme的几何空间，同时要求具有特定的局部性质。affine scheme是最基本的scheme实例。本文旨在介绍一般代数几何中scheme的概念。

目录：

名词对照（取自 zh.wikipedia.org）

正文：

定义概形需要探索sheaf的额外特性。

首先，sheaf上的函数集合带有代数结构。

对于affine[公式]-scheme（或复流形），开集上的函数集构成一个[公式]-algebra，表示“函数的[公式]-algebra”的sheaf。对于更广义的affine scheme，考虑函数的加法和乘法，定义“函数的ring”的sheaf。

在代数几何和微分几何中，sheaf通常为ring的sheaf；对于非交换几何，考虑“不交换的ring”的sheaf。

从affine scheme过渡到更广义的scheme时，很难用“函数”来描述sheaf，需要转向考虑抽象的“ring的sheaf”。定义中的ring指代任何代数结构。

考虑拓扑空间[formula]上的“ring的sheaf”[formula]，满足特定限制函数的性质。

对于空集的限制使得[formula]成为任何scheme的“子”空间。

引入新的名称取代“函数”，但使用相同的符号。

section定义在开集上，同时考虑点处的section，称为germ。

stalk和germ的定义涉及ring的sheaf[formula]，通过直接极限概念定义。

在affine scheme的上下文中，考虑开集[formula]上的函数[formula]，定义germ。

局部性是scheme的关键属性，由点处的局部环决定。

学习局部环时，理解局部概念难度较大。但在代数几何中，局部性质由局部环决定。

对于local ring[formula]，仅包含一个极大理想。域是local ring的特殊情况。

存在非域local ring，例如[formula]和[formula]（[formula]为形式幂级数环）。

局部化定义在代数中，本文仅介绍特殊情况，其结果为local ring。

给定ring[formula]，考虑prime ideal[formula]，局部化定义为[formula]在点[formula]的local ring，记作[formula]。

定义完成后，[formula]成为local ring，极大理想记为[formula]。

综上，[formula]为locally ringed space，特定情况下是一个scheme。

一个scheme是局部长成affine scheme的locally ringed space。

“局部”意味着每个点附近的区域表现出affine scheme的性质。

locally ringed space定义了一个几何空间，sheaf为ring sheaf。

locally ringed space额外要求每个点的stalk为local ring。

locally ringed space支持切空间定义，一个重要的几何特征。

简单来说，scheme是局部区域相似于affine scheme的locally ringed space。

定义完成，一个scheme是一个locally ringed space[formula]，对于空间中的任意点[formula]，存在开邻域[formula]作为local ringed space[formula]，其中[formula]为ring，[formula]为结构sheaf。

附录作者的话

本文的撰写经历了一段时间的修改，最初的概念不足以描述scheme，最终完善了定义。在准备撰写时，作者对部分概念理解尚不清晰。欢迎指出错误和提出建议，十分感谢。本文参考了刘青的《代数几何与算数曲线》一书，推荐给对代数几何感兴趣的读者。未来关于一般代数几何的内容将遵循此书。作者计划深入该领域，但不会停留太久。