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高一数学必修四 三角公式
时间:2024-12-23 20:35:57
答案

推导公式:(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=2R(其中,R为外接圆半径)

由正弦定理有

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

所以

a=2R*sinA

b=2R*sinB

c=2R*sinC

加起来a+b+c=2R*(sinA+sinB+sinC)带入

(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=2R*(sinA+sinB+sinC)/(sinA+sinB+sinC)=2R

两角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB

cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)

tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)

cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)

倍角公式

Sin2A=2SinA?CosA

对数的性质及推导

用^表示乘方,用log(a)(b)表示以a为底,b的对数

*表示乘号,/表示除号

定义式:

若a^n=b(a>0且a≠1)

则n=log(a)(b)

基本性质:

1.a^(log(a)(b))=b

2.log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);

3.log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);

4.log(a)(M^n)=nlog(a)(M)

推导

1.这个就不用推了吧,直接由定义式可得(把定义式中的[n=log(a)(b)]带入a^n=b)

2.

MN=M*N

由基本性质1(换掉M和N)

a^[log(a)(MN)]=a^[log(a)(M)]*a^[log(a)(N)]

由指数的性质

a^[log(a)(MN)]=a^{[log(a)(M)]+[log(a)(N)]}

又因为指数函数是单调函数,所以

log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N)

3.与2类似处理

MN=M/N

由基本性质1(换掉M和N)

a^[log(a)(M/N)]=a^[log(a)(M)]/a^[log(a)(N)]

由指数的性质

a^[log(a)(M/N)]=a^{[log(a)(M)]-[log(a)(N)]}

又因为指数函数是单调函数,所以

log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N)

4.与2类似处理

M^n=M^n

由基本性质1(换掉M)

a^[log(a)(M^n)]={a^[log(a)(M)]}^n

由指数的性质

a^[log(a)(M^n)]=a^{[log(a)(M)]*n}

又因为指数函数是单调函数,所以

log(a)(M^n)=nlog(a)(M)

其他性质:

性质一:换底公式

log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)

推导如下

N=a^[log(a)(N)]

a=b^[log(b)(a)]

综合两式可得

N={b^[log(b)(a)]}^[log(a)(N)]=b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}

又因为N=b^[log(b)(N)]

所以

b^[log(b)(N)]=b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}

所以

log(b)(N)=[log(a)(N)]*[log(b)(a)]{这步不明白或有疑问看上面的}

所以log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)

性质二:(不知道什么名字)

log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]

推导如下

由换底公式[lnx是log(e)(x),e称作自然对数的底]

log(a^n)(b^m)=ln(a^n)/ln(b^n)

由基本性质4可得

log(a^n)(b^m)=[n*ln(a)]/[m*ln(b)]=(m/n)*{[ln(a)]/[ln(b)]}

再由换底公式

log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]

--------------------------------------------(性质及推导完)

公式三:

log(a)(b)=1/log(b)(a)

证明如下:

由换底公式log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a)----取以b为底的对数,log(b)(b)=1

=1/log(b)(a)

还可变形得:

log(a)(b)*log(b)(a)=1

平方关系:

sin^2(α)+cos^2(α)=1

tan^2(α)+1=sec^2(α)

cot^2(α)+1=csc^2(α)

·商的关系:

tanα=sinα/cosαcotα=cosα/sinα

·倒数关系:

tanα·cotα=1

sinα·cscα=1

cosα·secα=1

万能公式:

sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]

cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]

tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

常用的诱导公式有以下几组:

公式一:

设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:

sin(2kπ+α)=sinα

cos(2kπ+α)=cosα

tan(2kπ+α)=tanα

cot(2kπ+α)=cotα

公式二:

设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:

sin(π+α)=-sinα

cos(π+α)=-cosα

tan(π+α)=tanα

cot(π+α)=cotα

公式三:

任意角α与-α的三角函数值之间的关系:

sin(-α)=-sinα

cos(-α)=cosα

tan(-α)=-tanα

cot(-α)=-cotα

公式四:

利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系:

sin(π-α)=sinα

cos(π-α)=-cosα

tan(π-α)=-tanα

cot(π-α)=-cotα

公式五:

利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系:

sin(2π-α)=-sinα

cos(2π-α)=cosα

tan(2π-α)=-tanα

cot(2π-α)=-cotα

公式六:

π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系:

sin(π/2+α)=cosα

cos(π/2+α)=-sinα

tan(π/2+α)=-cotα

cot(π/2+α)=-tanα

sin(π/2-α)=cosα

cos(π/2-α)=sinα

tan(π/2-α)=cotα

cot(π/2-α)=tanα

sin(3π/2+α)=-cosα

cos(3π/2+α)=sinα

tan(3π/2+α)=-cotα

cot(3π/2+α)=-tanα

sin(3π/2-α)=-cosα

cos(3π/2-α)=-sinα

tan(3π/2-α)=cotα

cot(3π/2-α)=tanα

(以上k∈Z)

一般的最常用公式有:

Sin(A+B)=SinA*CosB+SinB*CosA

Sin(A-B)=SinA*CosB-SinB*CosA

Cos(A+B)=CosA*CosB-SinA*SinB

Cos(A-B)=CosA*CosB+SinA*SinB

Tan(A+B)=(TanA+TanB)/(1-TanA*TanB)

Tan(A-B)=(TanA-TanB)/(1+TanA*TanB)

平方关系:

sin^2(α)+cos^2(α)=1

tan^2(α)+1=sec^2(α)

cot^2(α)+1=csc^2(α)

·积的关系:

sinα=tanα*cosα

cosα=cotα*sinα

tanα=sinα*secα

cotα=cosα*cscα

secα=tanα*cscα

cscα=secα*cotα

·倒数关系:

tanα·cotα=1

sinα·cscα=1

cosα·secα=1

直角三角形ABC中,

角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,

余弦等于角A的邻边比斜边

正切等于对边比邻边,

三角函数恒等变形公式

·两角和与差的三角函数:

cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

·辅助角公式:

Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t),其中

sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)

cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)

·倍角公式:

sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)

cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)

tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]

·三倍角公式:

sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)

cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα

·半角公式:

sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)

cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)

tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα

·降幂公式

sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2

cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=vercos(2α)/2

tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))

·万能公式:

sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]

cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]

tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

·积化和差公式:

sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]

·和差化积公式:

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

·其他:

sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0

cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0以及

sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2

tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0

部分高等内容

·高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得):

sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)

cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2

tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]

泰勒展开有无穷级数,e^z=exp(z)=1+z/1!+z^2/2!+z^3/3!+z^4/4!+…+z^n/n!+…

此时三角函数定义域已推广至整个复数集。

·三角函数作为微分方程的解:

对于微分方程组y=-y'';y=y'''',有通解Q,可证明

Q=Asinx+Bcosx,因此也可以从此出发定义三角函数。

补充:由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数——双曲函数,其拥有很多与三角函数的类似的性质,二者相映成趣。

特殊三角函数值

a0`30`45`60`90`

sina01/2√2/2√3/21

cosa1√3/2√2/21/20

tana0√3/31√3None

cotaNone√31√3/30

三角函数的计算

幂级数

c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn(n=0..∞)

c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n(n=0..∞)

它们的各项都是正整数幂的幂函数,其中c0,c1,c2,...cn...及a都是常数,这种级数称为幂级数.

泰勒展开式(幂级数展开法):

f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)2+...f(n)(a)/n!*(x-a)n+...

实用幂级数:

ex=1+x+x2/2!+x3/3!+...+xn/n!+...

ln(1+x)=x-x2/3+x3/3-...(-1)k-1*xk/k+...(|x|<1)

sinx=x-x3/3!+x5/5!-...(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+...(-∞

cosx=1-x2/2!+x4/4!-...(-1)k*x2k/(2k)!+...(-∞

arcsinx=x+1/2*x3/3+1*3/(2*4)*x5/5+...(|x|<1)

arccosx=π-(x+1/2*x3/3+1*3/(2*4)*x5/5+...)(|x|<1)

arctanx=x-x^3/3+x^5/5-...(x≤1)

sinhx=x+x3/3!+x5/5!+...(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+...(-∞

coshx=1+x2/2!+x4/4!+...(-1)k*x2k/(2k)!+...(-∞

arcsinhx=x-1/2*x3/3+1*3/(2*4)*x5/5-...(|x|<1)

arctanhx=x+x^3/3+x^5/5+...(|x|<1)

--------------------------------------------------------------------------------

傅立叶级数(三角级数)

f(x)=a0/2+∑(n=0..∞)(ancosnx+bnsinnx)

a0=1/π∫(π..-π)(f(x))dx

an=1/π∫(π..-π)(f(x)cosnx)dx

bn=1/π∫(π..-π)(f(x)sinnx)dx

注意:正切也可以表示为“Tg”如:TanA=TgA

Sin2a=2SinaCosa

Cos2a=Cosa^2-Sina^2

=1-2Sina^2

=2Cosa^2-1

Tan2a=2Tana/1-Tana^2

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