本文源于在知乎上解答有关正态分布问题，发现众多关于如何在正态分布下计算期望的疑问。这类问题普遍存在，即变量[公式]服从正态分布，但需求[公式]的期望。这使我意识到这是一个常见问题。于是，我打算撰写一系列关于如何求解正态分布期望的文章。本文为第一篇，主要探讨当[公式]为多项式函数时，如何求解[公式]的期望。

在中心极限定理的指导下，我们了解到许多日常生活中的统计概率符合正态分布：

[公式]

在统计概率的基础上，其他变量通常依赖于统计量。例如，销售量[公式]符合正态分布，销售收益可能是一个关于销售量的函数[公式]。在函数简单的情况下，我们可以使用最小二乘法生成拟合函数，如线性函数[公式]或二次函数[公式]。

我们注意到，如果我们把各种函数视为[公式]，我们感兴趣的是函数[公式]在[公式]服从正态分布时的积分[公式]。

如果函数[公式]可以转化为多项式形式，那么可能存在较好的运算方法：

[公式]

加法较为简单，直接积分相加即可。但是[公式]的积分如何求解呢？

要研究这类函数的积分，我们需要先了解一种重要技巧——分部积分法，该方法源于一个重要公式：

[公式]

为了简化，我们先研究[公式]这种形式的函数的积分，并通过举例进行说明：

[公式]

接下来，我们研究[公式]的积分。这里可以定义一种神奇而有趣的积分：

[公式]

根据我们刚刚学到的分部积分法，我们发现这个函数具有以下性质：

[公式]

前半部分，根据洛必达法则，分子分母同时求导得到：

[公式]

因此，我们得到[公式]的重要性质：

[公式]

[公式]

最终，我们得到以下性质：

[公式]

由于[公式]（参见辉煌的中心极限定理），

[公式]

令[公式]，于是得到：

[公式]

于是所有[公式]的[公式]都可以求解了，例如：

[公式]

[公式]

[公式]

有了这个性质，我们就可以进一步研究[公式]的积分。由于奇函数的性质，显然有[公式]。

因此，我们只需研究[公式]为偶数的情况，不妨设[公式]，令[公式]。

[公式]

这里就是伽马函数[公式]的形式，于是有[公式]。

我们不妨计算一下，于是我们有：

[公式]

[公式]

[公式]

综上所述，我们有：

[公式]

[公式]

[公式]

特殊地：

[公式]

我们来验证两个例子：

[公式]

[公式]

至此，我们就解决了[公式]形式的积分问题，那么[公式]为多项式情况下的积分也就得以解决[公式]。

那么，如果我们在日常生活中发现某个变量[公式]服从正态分布，而另一个变量[公式]可以表示成多项式的形式[公式]，那么如何计算[公式]的期望也就是一件清晰而又明确的事情了。