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有关双曲线的所有知识点
时间:2024-12-23 20:47:16
答案

一.双曲线的定义及双曲线的标准方程:

1 双曲线定义:到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长(<|F1F2|)的点的轨迹((为常数))这两个定点叫双曲线的焦点.

要注意两点:(1)距离之差的绝对值.(2)2a<|F1F2|,这两点与椭圆的定义有本质的不同.

当|MF1|-|MF2|=2a时,曲线仅表示焦点F2所对应的一支;

当|MF1|-|MF2|=-2a时,曲线仅表示焦点F1所对应的一支;

当2a=|F1F2|时,轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线;

当2a>|F1F2|时,动点轨迹不存在.

 

2.双曲线的标准方程:和(a>0,b>0).这里,其中||=2c.要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.

3.双曲线的标准方程判别方法是:如果项的系数是正数,则焦点在x轴上;如果项的系数是正数,则焦点在y轴上.对于双曲线,a不一定大于b,因此不能像椭圆那样,通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.

4.求双曲线的标准方程,应注意两个问题:⑴ 正确判断焦点的位置;⑵ 设出标准方程后,运用待定系数法求解.

二.双曲线的内外部:

(1)点在双曲线的内部.

(2)点在双曲线的外部.

三.双曲线的方程与渐近线方程的关系

(1)若双曲线方程为渐近线方程:.

(2)若渐近线方程为双曲线可设为.

(3)若双曲线与有公共渐近线,可设为(,焦点在x轴上,,焦点在y轴上).

四.双曲线的简单几何性质

-=1(a>0,b>0)

⑴范围:|x|≥a,y∈R

⑵对称性:关于x、y轴均对称,关于原点中心对称

⑶顶点:轴端点A1(-a,0),A2(a,0)

⑷渐近线:

①若双曲线方程为渐近线方程

②若渐近线方程为双曲线可设为

③若双曲线与有公共渐近线,可设为(,焦点在x轴上,,焦点在y轴上)

④与双曲线共渐近线的双曲线系方程是

⑤与双曲线共焦点的双曲线系方程是

五.双曲线 与 的区别和联系

标准方程

焦点

焦距

范围

顶点

对称性

关于x轴、y轴和原点对称

6.弦长公式:若直线与圆锥曲线相交于两点A、B,且分别为A、B的横坐标,则=,若分别为A、B的纵坐标,则=。

第三部分 典型例题分析

考点1 双曲线的定义及标准方程

题型1:运用双曲线的定义

[例1]某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告:正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响,正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上)

【解题思路】时间差即为距离差,到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的.

[解析]如图,以接报中心为原点O,正东、正北方向为x轴、y轴正向,建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点,则A(-1020,0),B(1020,0),C(0,1020)

设P(x,y)为巨响为生点,由A、C同时听到巨响声,得|PA|=|PC|,故P在AC的垂直平分线PO上,PO的方程为y=-x,因B点比A点晚4s听到爆炸声,故|PB|- |PA|=340×4=1360

由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上,

依题意得a=680, c=1020,

用y=-x代入上式,得,∵|PB|>|PA|,

答:巨响发生在接报中心的西偏北450距中心处.

【名师指引】解应用题的关键是将实际问题转换为“数学模型”

【新题导练】

1.设P为双曲线上的一点F1、F2是该双曲线的两个焦点,若|PF1|:|PF2|=3:2,则△PF1F2的面积为 ( )

A. B.12 C. D.24

解析: ①

又②

由①、②解得

直角三角形,

故选B。

2.如图2所示,为双曲线的左

焦点,双曲线上的点与关于轴对称,

则的值是( )

A.9 B.16 C.18 D.27

[解析] ,选C

3.P是双曲线左支上的一点,F1、F2分别是左、右焦点,且焦距为2c,则的内切圆的圆心的横坐标为( )

(A) (B) (C) (D)

[解析]设的内切圆的圆心的横坐标为,

由圆的切线性质知,

题型2 求双曲线的标准方程

[例2 ]已知双曲线C与双曲线-=1有公共焦点,且过点(3,2).求双曲线C的方程.

【解题思路】运用方程思想,列关于的方程组

[解析]解法一:设双曲线方程为-=1.由题意易求c=2.

又双曲线过点(3,2),∴-=1.

又∵a2+b2=(2)2,∴a2=12,b2=8.

故所求双曲线的方程为-=1.

解法二:设双曲线方程为-=1,

将点(3,2)代入得k=4,所以双曲线方程为-=1.

【名师指引】求双曲线的方程,关键是求a、b,在解题过程中应熟悉各元素(a、b、c、e及准线)之间的关系,并注意方程思想的应用.

【新题导练】

4.已知双曲线的渐近线方程是,焦点在坐标轴上且焦距是10,则此双曲线的方程为 ;

[解析]设双曲线方程为,

当时,化为,,

当时,化为,,

综上,双曲线方程为或

5.以抛物线的焦点为右焦点,且两条渐近线是的双曲线方程为___________________.

[解析] 抛物线的焦点为,设双曲线方程为,,双曲线方程为

6.已知点,,,动圆与直线切于点,过、与圆相切的两直线相交于点,则点的轨迹方程为

A. B.

C.(x > 0) D.

[解析],点的轨迹是以、为焦点,实轴长为2的双曲线的右支,选B

考点2 双曲线的几何性质

题型1 与渐近线有关的问题

1.焦点为(0,6),且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是 ( )

A. B. C. D.

[解析]从焦点位置和具有相同的渐近线的双曲线系两方面考虑,选B

基础巩固训练

2.以椭圆的右焦点为圆心,且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是

(A) (B)

(C) (D)

[解析]椭圆与双曲线共焦点,焦点到渐近线的距离为b,选A

类型三:综合练习

1.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为,右顶点为.

(Ⅰ)求双曲线C的方程

(Ⅱ)若直线与双曲线恒有两个不同的交点A和B且(其中为原点),求k的取值范围

解(1)设双曲线方程为

由已知得,再由,得

故双曲线的方程为.

(2)将代入得

由直线与双曲线交与不同的两点得

即且. ① 设,则

,由得,

.

于是,即解此不等式得 ②

由①+②得

故的取值范围为

2.已知直线与双曲线交于、点。

(1)求的取值范围;(2)若以为直径的圆过坐标原点,求实数的值;

(3)是否存在这样的实数,使、两点关于直线对称?若存在,

请求出的值;若不存在,说明理由。

解:(1)由消去,得(1)

依题意即且(2)

(2)设,,则

∵ 以AB为直径的圆过原点 ∴ ∴

由(3)(4),,

∴ 解得且满足(2)

(3)假设存在实数,使A、B关于对称,则直线与垂直

∴ ,即 直线的方程为

将代入(3)得

∴ AB中点的横坐标为2 纵坐标为

但AB中点不在直线上,即不存在实数,使A、B关于直线对称。

3.(1)椭圆C:(a>b>0)上的点A(1,)到两焦点的距离之和为4,

求椭圆的方程;

(2)设K是(1)中椭圆上的动点, F1是左焦点, 求线段F1K的中点的轨迹方程;

(3)已知椭圆具有性质:若M、N是椭圆C上关于原点对称的两点,P是椭圆上任意一点, 当直线PM、PN的斜率都存在并记为kPM、kPN时,那么是与点P位置无关的定值。试对双曲线 写出具有类似特性的性质,并加以证明。

解:(1)

(2)设中点为(x,y), F1(-1,0)K(-2-x,-y)在上 Þ

(3)设M(x1,y1),N(-x1,-y1), P(xo,yo), xo≠x1

则 为定值.

4.已知双曲线,问过点A(1,1)能否作直线,使与双曲线交于P、Q两点,并且A为线段PQ的中点?若存在,求出直线的方程,若不存在,说明理由。

错解 设符合题意的直线存在,并设、

则 (1)得 因为A(1,1)为线段PQ的中点, 所以 将(4)、(5)代入(3)得

若,则直线的斜率 所以符合题设条件的直线存在。 其方程为 剖析 在(3)式成立的前提下,由(4)、(5)两式可推出(6)式,但由(6)式不能推出(4)(5)两式,故应对所求直线进行检验,上述错解没有做到这一点,故是错误的。 应在上述解题的基础上,再由

得 根据,说明所求直线不存在。

5.已知两定点满足条件的点P的轨迹是曲线E,直线y=kx-1与曲线E交于A、B两点。

(Ⅰ)求k的取值范围;

(Ⅱ)如果且曲线E上存在点C,使求。

解:(Ⅰ)由双曲线的定义可知,曲线是以为焦点的双曲线的左支,

且,易知

故曲线的方程为

设,由题意建立方程组

消去,得

又已知直线与双曲线左支交于两点,有

解得

依题意得

整理后得

∴或

但 ∴

故直线的方程为

设,由已知,得

∴,

又,

∴点

将点的坐标代入曲线的方程,得得,

但当时,所得的点在双曲线的右支上,不合题意

∴,点的坐标为

到的距离为

∴的面积

6.已知P为双曲线的右支上一点,分别是椭圆的长轴顶点,连接交椭圆于,若与面积相等.

(1)求直线的斜率和直线的倾斜角;

(2)当的值为多少时,直线恰好过椭圆的右焦点?

7.已知双曲线的焦点在轴上,渐近线方程为,焦距为.

(1)求双曲线的方程;

(2)过点的直线与双曲线交于,求线段的中点P的轨迹方程;

(3)过点能否作直线,使与所给双曲线有两个交点,且点是线段的中点,若存在,求出它的方程;若不存在,说明理由.

8.已知双曲线的左、右焦点分别为,,过点的动直线与双曲线相交于两点.

(I)若动点满足(其中为坐标原点),求点的轨迹方程;

(II)在轴上是否存在定点,使·为常数?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.

解:由条件知,,设,.

(I)解法一:(I)设,则则,,

,由得

于是的中点坐标为.

当不与轴垂直时,,即.

又因为两点在双曲线上,所以,,两式相减得

,即.

将代入上式,化简得.

当与轴垂直时,,求得,也满足上述方程.

所以点的轨迹方程是.

(II)假设在轴上存在定点,使为常数.

当不与轴垂直时,设直线的方程是.

代入有.

则是上述方程的两个实根,所以,,

于是

因为是与无关的常数,所以,即,此时=.

当与轴垂直时,点的坐标可分别设为,,

此时.

故在轴上存在定点,使为常数.

9.(2009上海卷)(本题满分16分)

已知双曲线C的中心是原点,右焦点为F,一条渐近线m:,设过点A的直线l的方向向量。

(1) 求双曲线C的方程;

(2) 若过原点的直线,且a与l的距离为,求K的值;

(3) 证明:当时,在双曲线C的右支上不存在点Q,使之到直线l的距离为.

(1)解 设双曲线的方程为

,解得,双曲线的方程为

(2)解 直线,直线

由题意,得,解得

(3)证明 方法一 设过原点且平行于的直线

则直线与的距离当时,

又双曲线的渐近线为

双曲线的右支在直线的右下方,

双曲线右支上的任意点到直线的距离大于。

故在双曲线的右支上不存在点,使之到直线的距离为

(3)方法二 假设双曲线右支上存在点到直线的距离为,

由(1)得

设,

当时,;

将代入(2)得

方程不存在正根,即假设不成立,

故在双曲线的右支上不存在点,使之到直线的距离为

10.(2009福建卷文)已知直线经过椭圆 的左顶点A和上顶点D,椭圆的右顶点为,点和椭圆上位于轴上方的动点,直线,与直线

分别交于两点。

(I)求椭圆的方程;

(Ⅱ)求线段MN的长度的最小值;

(Ⅲ)当线段MN的长度最小时,在椭圆上是否存在这样的点,使得的面积为?若存在,确定点的个数,若不存在,说明理由

解 方法一(I)由已知得,椭圆的左顶点为上顶点为

故椭圆的方程为

(Ⅱ)直线AS的斜率显然存在,且,故可设直线的方程为,

从而

由得0

设则得,从而

即又

由得

当且仅当,即时等号成立

时,线段的长度取最小值

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,当取最小值时,

此时的方程为

要使椭圆上存在点,使得的面积等于,只须到直线的距离等于,所以在平行于且与距离等于的直线上。

设直线

则由解得或

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