实数的性质是封闭性，运算有加、减、乘、除、乘方等。

1、封闭性，实数集对加、减、乘、除（除数不为零）四则运算具有封闭性，即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是实数。

2、有序性，实数集是有序的，即任意两个实数a、b必定满足并且只满足下列三个关系之一，ab。

3、传递性，实数大小具有传递性，即若a＞b，且b>c，则有a>c。阿基米德性质，实数具有阿基米德性质，即（倒A）a，b∈R，若a>0，则正整数n，na>b。

实数的发展：

1、在公元前500年左右，以毕达哥拉斯为首的希腊数学家们认识到有理数在几何上不能满足需要，但毕达哥拉斯本身并不承认无理数的存在。

2、直到17世纪，实数才在欧洲被广泛接受。18世纪，微积分学在实数的基础上发展起来。1871年，德国数学家康托尔第一次提出了实数的严格定义。

3、根据日常经验，有理数集在数轴上似乎是“稠密”的，于是古人一直认为用有理数即能满足测量上的实际需要。

4、以边长为1厘米的正方形为例，其对角线有多长，在规定的精度下（比如误差小于0.001厘米），总可以用有理数来表示足够精确的测量结果（比如1.414厘米）。