cosx的四次方的原函数是(1/5)sin(5x)+C。

1.引言：

四次方函数是指一个函数的自变量被四次方的数值所改变，而cosx的四次方则表示cosx连续乘以自身四次。求解cosx的四次方的原函数可通过积分的方法进行，下面将详细介绍具体步骤。

2.转化为指数形式：

首先，我们将cosx的四次方表达式转化为指数形式。根据欧拉公式，可以得到cosx=(e^(ix)+ e^(-ix))/2，代入cosx的四次方表达式中，得到(cosx)^4=[(e^(ix)+e^(-ix))/2]^4。

3.展开简化：

将(cosx)^4展开后可得到：cos^4x=(1/16)(e^(4ix)+4e^(2ix)+6+4e^(-2ix)+e^(-4ix))。

4.利用和差化积公式：

在展开式中，我们可以利用和差化积公式对指数项进行简化。通过将e^(4ix)和e^(-4ix)相加得到2cos(4x)，将e^(2ix)和e^(-2ix)相加得到2cos(2x)。因此，上述展开式可进一步简化为：cos^4x=(1/8)(2cos(4x)+4cos(2x)+6)。

5.积分求解：

现在，我们可以对简化后的表达式进行积分，得到cosx的四次方的原函数。根据常数项的积分性质，我们可以得到cos^4x的原函数为(1/8)(2∫cos(4x)dx+4∫cos(2x)dx+∫6dx)。

6.求不定积分：

对于∫cos(4x)dx和∫cos(2x)dx，我们可以直接利用三角函数的不定积分公式进行求解。根据公式，∫cos(nx)dx=(1/n)sin(nx)+C，其中C为积分常数。因此，我们可以得到：∫cos(4x)dx= (1/4)sin(4x)+C1，∫cos(2x)dx=(1/2)sin(2x)+C2。

7.求出原函数：

将求得的不定积分带入上述式子中，我们可以得到cos^4x的原函数为：(1/8)[2((1/4)sin(4x)+ C1)+4((1/2)sin(2x)+C2)+6x]+C。

通过以上步骤，我们成功求解了cosx的四次方的原函数为(1/5)sin(5x)+C。