阿基米德通过平衡法推导出球体积公式的过程如下：

1.球体积公式的推导过程

阿基米德的推导过程可以概括为：将球体分成若干个小切片，然后在水平浸入水中的容器中，观察在容器内液位的升高和容器所承受的浮力。通过计算每一个小切片所占的体积和相应的浮力，推导出球的体积公式。

其中，重要的是阿基米德的平衡法原理。他认为，浮力等于被物体排挤开的水的重量，水的重量又等于体积乘以密度。因此，只要知道物体所占的体积、密度和水的密度，就可以推导出浮力，从而进一步推导出物体的形状和体积。

2.涉及到的数学原理

阿基米德的推导过程涉及到了很多现代数学的基本原理。例如，他首先要求得球的投影面积，这需要用到球面积公式。然后，他通过将球剖分成无数个小切片，每个小切片的体积可以看作是一个微分元素，这类似于微积分的思想。他还要求出每个切片的半径，这需要用到三角函数。

3.其他应用

除了计算球体积，阿基米德的平衡法在今天的物理学和工程学中也有广泛应用。例如，在沉船挖掘和太空探索中，利用水下机器人和卫星可以通过阿基米德原理推断遗失物体的体积和重量。

工程上，则可以利用阿基米德原理设计浮标，秤盘等。在医学上，阿基米德原理也同样有应用，如在密度测量中。

阿基米德原理在液压学中的应用

液压学是一门研究流体力学在机械中的应用学科。液压技术广泛应用在各种机械设备及系统中，如水电站、锅炉、压缩机、风扇、石油钻机、轨道车辆等。

而阿基米德原理则是液压学中比较常见的一种原理。液压机械就是通过利用液体的压力来进行能量转换的机械设备，其工作原理即是基于阿基米德原理。

球体积公式的历史

阿基米德并非第一个推导出球体积公式的人。在他之前，希腊人安提斯丰也曾经给出了这个公式。而早在公元前2500年左右，印度人便已经计算出了球的表面积和体积的近似值。但阿基米德所进行的实验和观察，对今天的物理学和工程学的发展依然产生着广泛的影响。