在这个数字海洋中，关于直角坐标系转换的公式犹如繁星点点，虽然推导起来并不复杂，但其中的混淆与误区却时常让人摸不着头脑。为了解答这个普遍的困惑，我将整理并详尽阐述这些关键公式，作为你学习和查阅的实用备忘录。

想象两个直角坐标系，XOY和X'O'Y'，它们之间以逆时针为正的角度θ相交。对于空间中的任意一点P，其与原点之间的向量记为r，其在两个坐标系中的坐标表示分别为(x, y)和(x', y')。转换的奥秘隐藏在这两个公式之中：

转换公式一:

(x', y') = (x cos(θ) - y sin(θ), x sin(θ) + y cos(θ))

如果再加上平移的考量，假设X'O'坐标系的原点O'在XOY坐标系中的位置为(x0, y0)，那么转换公式还需加入平移部分：

平移后的转换公式:

(x', y') = (x - x0 cos(θ) - y0 sin(θ), y + x0 sin(θ) + y0 cos(θ))

从X'O'Y'坐标系回溯到XOY，我们以齐次坐标的形式表达，设点P的坐标为(1, x, y)，转换公式简化为矩阵的乘法，如下所示：

齐次坐标转化:

[1, x, y] * 旋转矩阵:

[cos(θ), -sin(θ), 0; sin(θ), cos(θ), 0; 0, 0, 1]

当扩展到三维空间，坐标绕X, Y, Z轴分别旋转θ1, θ2, θ3（右手坐标系），旋转矩阵的表达更为复杂，但同样遵循矩阵乘法规则，即欧拉角公式：

三维欧拉角公式:

[x', y', z'] = [Rz(θ3) * Ry(θ2) * Rx(θ1)] * [x, y, z]

对于齐次形式，三维坐标系的转换同样依赖于旋转矩阵的组合，尽管形式更为繁复，但理解其核心概念至关重要。希望这些公式能为你的坐标系转换学习之旅提供清晰的导航。