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二次函数交点式的交点式的推导
时间:2024-12-23 16:04:00
答案

设y=ax²+bx+c此函数与x轴有两交点,, 即ax²+bx+c=0有两根 分别为 x1,x2,

a(x²+bx/a+c/a)=0 根据韦达定理 a[x²-(x1+x2)x+x1*x2]=0

十字交叉相乘:

1x -x1

1x -x2

a(x-x1)(x-x2) 就是这样推出的。

解决二次函数,还有一般式和顶点式

一般式:y=ax²+bx+c

顶点式:y=a(x-h)²+k

交点式:y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A(x1,0)和 B(x2,0)的抛物线]

一般的,如果a,b,c是常数(a≠0),那么y叫做x的二次函数。

2.二次函数 的性质

(1)抛物线的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴.

(2)函数 的图像与 的符号关系.

①当 时抛物线开口向上 顶点为其最低点;

②当 时抛物线开口向下 顶点为其最高点.

(3)顶点是坐标原点,对称轴是 轴的抛物线的解析式形式为 .

3.二次函数 的图像是对称轴平行于(包括重合)y 轴的抛物线.

4.二次函数 用配方法可化成: 的形式,其中 .

5.二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式:① ;② ;③ ;④ ;⑤ .

6.抛物线的三要素:开口方向、对称轴、顶点.

①a 的符号决定抛物线的开口方向:当a>0 时,开口向上;当a<0 时,开口向下;

相等,抛物线的开口大小、形状相同.

②平行于 y轴(或重合)的直线记作对称轴 .特别地, y轴记作直线 .

7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数,如果二次项系数相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同.

8.求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法: ,∴顶点是 ,对称轴是直线 .

(2)配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为 的形式,得到顶点为( , ),对称轴是直线 .

(3)运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.

用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失.

9.抛物线 中, 的作用

(1) 决定开口方向及开口大小,这与 中的 完全一样.

(2) 和 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 的对称轴是直线

,故:① 时,对称轴在对称轴上;② (即 、 同号)时,对称轴在 轴左侧;③ (即 、 异号)时,对称轴在 轴右侧.

(3) 的大小决定抛物线 与 轴交点的位置.

当 时, ,∴抛物线 与 轴有且只有一个交点(0, ):

① ,抛物线经过原点; ② ,与 轴交于正半轴;③ ,与 轴交于负半轴.

以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立.如抛物线的对称轴在 轴右侧,则 .

10.几种特殊的二次函数的图像特征如下: 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标  当 时

开口向上

当 时

开口向下 ( 轴) (0,0)  ( 轴) (0, )   ( ,0)   ( , )   ( ) 11.用待定系数法求二次函数的解析式

(1)一般式: .已知图像上三点或三对 、 的值,通常选择一般式.

(2)顶点式: .已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式.

(3)交点式:已知图像与 轴的交点坐标 、 ,通常选用交点式: .

12.直线与抛物线的交点

(1) 轴与抛物线 得交点为(0, ).

(2)与 轴平行的直线 与抛物线有且只有一个交点( , ).

(3)抛物线与 轴的交点

二次函数 的图像与 轴的两个交点的横坐标 、 ,是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定:

①有两个交点抛物线与 轴相交;

②有一个交点(顶点在 轴上)抛物线与 轴相切;

③没有交点抛物线与 轴相离.

(4)平行于 轴的直线与抛物线的交点

同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为 ,则横坐标是 的两个实数根.

(5)一次函数的图像 与二次函数 的图像 的交点,由方程组的解的数目来确定:①方程组有两组不同的解时 与 有两个交点; ②方程组只有一组解时 与 只有一个交点;③方程组无解时 与 没有交点.

(6)抛物线与 轴两交点之间的距离:若抛物线 与 轴两交点为 ,由于 、 是方程 的两个根,故

一次函数与反比例函数

考点一、平面直角坐标系(3分)

1、平面直角坐标系

在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴,就组成了平面直角坐标系。

其中,水平的数轴叫做x轴或横轴,取向右为正方向;铅直的数轴叫做y轴或纵轴,取向上为正方向;两轴的交点O(即公共的原点)叫做直角坐标系的原点;建立了直角坐标系的平面,叫做坐标平面。

为了便于描述坐标平面内点的位置,把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分,分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。

注意:x轴和y轴上的点,不属于任何象限。

2、点的坐标的概念

点的坐标用(a,b)表示,其顺序是横坐标在前,纵坐标在后,中间有“,”分开,横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对,当 时,(a,b)和(b,a)是两个不同点的坐标。

考点二、不同位置的点的坐标的特征(3分)

1、各象限内点的坐标的特征

点P(x,y)在第一象限

点P(x,y)在第二象限

点P(x,y)在第三象限

点P(x,y)在第四象限

2、坐标轴上的点的特征

点P(x,y)在x轴上 ,x为任意实数

点P(x,y)在y轴上 ,y为任意实数

点P(x,y)既在x轴上,又在y轴上 x,y同时为零,即点P坐标为(0,0)

3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征

点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上 x与y相等

点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上 x与y互为相反数

4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征

位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。

位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。

5、关于x轴、y轴或远点对称的点的坐标的特征

点P与点p’关于x轴对称 横坐标相等,纵坐标互为相反数

点P与点p’关于y轴对称纵坐标相等,横坐标互为相反数

点P与点p’关于原点对称横、纵坐标均互为相反数

6、点到坐标轴及原点的距离

点P(x,y)到坐标轴及原点的距离:

(1)点P(x,y)到x轴的距离等于

(2)点P(x,y)到y轴的距离等于

(3)点P(x,y)到原点的距离等于

考点三、函数及其相关概念(3~8分)

1、变量与常量

在某一变化过程中,可以取不同数值的量叫做变量,数值保持不变的量叫做常量。

一般地,在某一变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值,y都有唯一确定的值与它对应,那么就说x是自变量,y是x的函数。

2、函数解析式

用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。

使函数有意义的自变量的取值的全体,叫做自变量的取值范围。

3、函数的三种表示法及其优缺点

(1)解析法

两个变量间的函数关系,有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示,这种表示法叫做解析法。

(2)列表法

把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系,这种表示法叫做列表法。

(3)图像法

用图像表示函数关系的方法叫做图像法。

4、由函数解析式画其图像的一般步骤

(1)列表:列表给出自变量与函数的一些对应值

(2)描点:以表中每对对应值为坐标,在坐标平面内描出相应的点

(3)连线:按照自变量由小到大的顺序,把所描各点用平滑的曲线连接起来。

考点四、正比例函数和一次函数(3~10分)

1、正比例函数和一次函数的概念

一般地,如果 (k,b是常数,k 0),那么y叫做x的一次函数。

特别地,当一次函数中的b为0时, (k为常数,k 0)。这时,y叫做x的正比例函数。

2、一次函数的图像

所有一次函数的图像都是一条直线

3、一次函数、正比例函数图像的主要特征:一次函数 的图像是经过点(0,b)的直线;正比例函数 的图像是经过原点(0,0)的直线。

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