初中数学公理和定理（北师版）

一、公理（不需证明）

1、两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;

2、两条平行线被第三条直线所截,同位角相等;

3、两边夹角对应相等的两个三角形全等; （SAS）

4、角及其夹边对应相等的两个三角形全等; （ASA）

5、边对应相等的两个三角形全等; （SSS）

6、等三角形的对应边相等,对应角相等.

7、线段公理：两点之间，线段最短。

8、直线公理：过两点有且只有一条直线。

9、平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行

10、垂直性质：经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直

注：（1）其中1－6要求能作为对其它定理进行证明的依据，7－10作为基本事实应了解。

（2）等式和不等式的有关性质也可视为公理。

以下对初中阶段所学的公理、定理进行分类：

一、直线与角

1、两点之间，线段最短。

2、经过两点有一条直线，并且只有一条直线。

3、同角或等角的补角相等，同角或等角的余角相等。

4、对顶角相等

二、平行与垂直

5、经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。

6、经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。

7、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

8、夹在两平行线间的平行线段相等

9、平行线的判定：

（1）同位角相等，两直线平行；

（2）内错角相等，两直线平行；

（3）同旁内角互补，两直线平行；

（4）垂直于同一条直线的两条的直线互相平行.

（5）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行

（6）利用三角形中位线定理

10、平行线的性质：

（1）两直线平行，同位角相等。

（2）两直线平行，内错角相等。

（3）两直线平行，同旁内角互补。

三、角平分线、垂直平分线、图形的变化（轴对称、平称、旋转）

11、角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.

12、角平分线的判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.

13、线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等.

14、线段垂直平分线的判定：到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．

15、轴对称的性质：

（1）如果图形关于某一直线对称，那么连结对应点的线段被对称轴垂直平分.

（2）对应线段相等、对应角相等。

16、平移：经过平移，图形上的每个点都沿着相同方向移动了相同的距离，平移后，新图形和原图形的形状和大小都没有发现改变，即它们是全等图形。即对应线段平行且相等，对应角相等，对应点所连的线段平行且相等

17、旋转对称：

(1)图形中每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度

(2)对应点到旋转中心的距离相等；

(3)对应线段相等、对应角相等

18、中心对称：

（1）具有旋转对称的所有性质：

（2）中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分

四、三角形

（一）一般性质

19、三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°

20、三角形外角的性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；②三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角；③三角形的外角和等于360°

21、三边关系：（1）两边的和大于第三边；（2）两边差小于第三边

22、三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．

23、三角形的三边的垂直平分线交于一点（外心）， 这点到三个顶点的距离（外接圆半径）相等。

24、三角形的三条角平分线交于一点（内心），这点到三边的距离（内切圆半径）相等。

（二）特殊性质：

25、等腰三角形、等边三角形

（1）等腰三角形的两个底角相等．（简写成“等边对等角”）

（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．（简写成“等角对等边”）

（3）“三线合一”定理：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合

（4）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°．

（5）三个角都相等的三角形是等边三角形。

（6）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形

26、直角三角形：

（1）直角三角形的两个锐角互余；

（2）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；

（3）勾股定理逆定理：如果一个三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形.

（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

（5）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.

(6)三角形一边的中线等于这边的一半，这个三角形是直角三角形。

五、四边形

27、多边形中的有关公理、定理：

⑴四边形的内角和为360°

⑵多边形的内角和定理：n边形的内角和等于（ n－2）×180°.

⑶多边形的外角和定理：任意多边形的外角和都为360°.

28、平行四边形的性质：

（1）平行四边形的对边平行且相等；

（2）平行四边形的对角相等；

（3）平行四边形的对角线互相平分.

29、平行四边形的判定:

（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

（3）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形.

30、矩形的性质：

（1）具有平行四边形的所有性质

（2）矩形的四个角都是直角；

（3）矩形的对角线相等且互相平分.

31、矩形的判定：

（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形。

（2）有三个角是直角的四边形是矩形.

（3）对角线相等的平行四边形是矩形。

32、菱形的性质：

（1）具有平行四边形的所有性质

（2）菱形的四条边都相等；

（3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角.

33、菱形的判定：

（1）四条边相等的四边形是菱形.

（2）一组邻边相等的平行四边形是菱形。

（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

34、正方形的性质：

（1）具有矩形、菱形的所有性质

（2）正方形的四个角都是直角；

（3）正方形的四条边都相等；

（4）正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角.