最小二乘法，一种数据处理思路，广泛应用于实验数据处理或函数拟合。在测量常量标量时，最小二乘法的目标是找到一个代表性的“真值”，使得多次测量值的偏差平方和最小。例如，测量戒指内径，多次使用同一卡尺测量并计算偏差的平方和，使得和最小的值即为最优估计。最小二乘法的数学表达式为：

最小二乘估计公式：[公式]

其中，Z、V为m维向量，H为m x n阶矩阵，且秩R（H）=n，m>=n。

当公式3取得最小值时，函数L对X求导等于0，解矩阵微分方程得到X的最小二乘估计为：

最小二乘估计公式：[公式] tips：最小二乘法本质上是方程定常参数的估计，依据实际测量数据求解假设的n阶方程参数。H矩阵表示不同量测与状态量之间的关系，如坐标变换矩阵。

算数平均数概念简单，但在商业化设备中广泛应用。最小二乘法在标量估计时等同于算数平均数计算，数学表达式为：

最小二乘估计公式：[公式] 其中[公式]

加权最小二乘法在存在不同精度量测时提高估计精度，通过引入加权矩阵W调整不同量测的权重。公式表达如下：

加权最小二乘估计公式：[公式] 其中W为正定加权矩阵。当量测误差方差不同时，加权最小二乘法能更准确地估计参数。例如，测量戒指内径时，利用两把卡尺得到的量测结果，通过加权最小二乘法进行综合计算，得到更精确的估计值。

递推最小二乘法应用于多次量测时，通过每次量测提取信息，修正之前的估计，减少计算量。以等差数列为例，利用公差和当前数值求前一个或后一个数，体现了递推思想。递推最小二乘法的关键在于建立相邻数值之间的逻辑关系。具体实现如下：

设X为确定常值向量，量测方程为：[公式] [公式] 其中[公式] 为Kronecker函数。递推最小二乘估计过程如下：

估计方程：[公式] 式中：[公式]

令[公式]

则k时刻加权最小二乘估计为：[公式] 当i=k+1时：[公式] 上式体现了递推雏形，P的逆已有等差数列的形式。

通过求逆引理，递推最小二乘法可以将状态估计与方差估计进行有效结合，实现状态的准确预测和估计。卡尔曼滤波算法进一步改进，不仅处理确定性常值向量估计，还能估计随机向量的时间过程，考虑估计误差以提高精度。

卡尔曼滤波方程的核心在于结合系统状态方程和量测信息，通过预测与更新步骤实现状态估计。卡尔曼滤波方程由状态预测、预测均方差、量测更新和估计均方差四部分组成，具体方程如下：

卡尔曼滤波方程：[公式] 其中，K为增益矩阵，E(A*B)表示A与B的协方差，E(A)和E(B)分别表示A和B的期望值。

卡尔曼滤波算法通过预测当前状态与预测均方差，结合量测信息更新状态估计与估计均方差，实现对随机过程的高效估计。