循环的二次不等式

离散Fourier变换(DFT)

对于复数列[公式] ，定义 [公式] ，其中 [公式] .

[公式] 被称为[公式]的离散Fourier变换.

性质1： [公式] , 若 [公式] , [公式] 与 [公式] 共轭.

性质2： [公式] (Fourier逆变换公式)

性质3： [公式] (Parseval恒等式)

例1：(Fan不等式)

设[公式], [公式] ,满足 [公式] ,证明: [公式]

证明：原不等式等价于[公式]

等价于[公式]

令[公式] ，则 [公式] ，且

[公式]

于是[公式]

取等条件:

由上式知等号成立当且仅当[公式] ,

即[公式]

也可以写为[公式] 被 [公式] 整除

于是取等的向量[公式] 构成的向量空间维数是2.

考虑特解:[公式]和 [公式]

显然[公式] 线性无关，故取等条件为 [公式] 即 [公式]

取等的另一种判断方法: 由Fourier逆变换公式，[公式]

容易看出系数[公式] 是最佳的.

Fan不等式的一些推论其他二次不等式

例3：

设[公式] , 求证： [公式]

证法1: 取[公式] ，于是有 [公式] ,

对[公式] 用Fan不等式得： [公式]

即原不等式成立.

取等：[公式]

易看出不等式中系数[公式] 是最优的.

例4：(Lenhard不等式)

设[公式] , [公式] 满足 [公式] , 证明:

[公式]

证明：考虑平面上的点[公式] 满足 [公式] ,且对于 [公式] , 有[公式] (有向角)，则 [公式] .

于是当[公式] 时， [公式]

[公式]

于是原不等式等价于[公式]

对[公式] 和 [公式] 用例3的不等式即可.

循环的分式不等式

利用柯西不等式和Fan不等式可以解决一些循环的分式不等式。

例6: (Vasile Cartoaje, Gabriel Dospinescu)

设正整数[公式], [公式] ,证明: 对任意正实数 [公式] ,有 [公式]

证明: 原不等式等价于[公式]

由条件，[公式]

故由Cauchy不等式，[公式]

于是只需证明[公式] ,

即[公式]

而[公式]

令[公式] ,则 [公式] ,则 [公式] , [公式]

只需证[公式] [公式]

令[公式] ,则 [公式] ,

故[公式] , [公式]

于是[公式] 等价于 [公式]

此即为Fan不等式，证毕.

相关的几何不等式等周不等式的弱化形式

设[公式] , [公式] 为n边形 [公式]面积, 证明: [公式]

证: 设[公式] 为平面上一点， [公式] (有向角)， [公式] , [公式]

则[公式] , [公式] , [公式]

于是[公式]

原不等式左式为[公式]

右式为[公式]

于是只需证[公式]

即[公式] ，

由[公式] 以及Lenhard不等式可知原不等式成立.

Erdös-Mordell不等式

设[公式] 为凸n边形 [公式] 内一点 , 设 [公式] 表示 [公式] 在顶点 [公式] 的角平分线长，则 [公式] .

证明: 设[公式] , [公式] , 由条件得 [公式] , [公式]

容易证明[公式] ,由均值不等式知 [公式]

对[公式] 和 [公式] 用Lenhard不等式得 :

[公式]

于是原不等式成立.

习题

1. (羊明亮) 设求最小的实数[公式] ，使得对任意 [公式] , 有 [公式]

2. (own) 求最小的实数[公式] , 使得对任意 [公式] , 有[公式]

3. (不等式的秘密) 求最小的实数[公式] 和最大的实数 [公式] ，使得对任意[公式] , 有

[公式]

4. (王永喜 代数100题) 设复数[公式] 满足 [公式] , [公式] , [公式] , 设 [公式] , 证明: [公式]

Answer:

1.[公式]

2.[公式]

3.[公式] [公式] , [公式]