1. 常言道:踏破铁鞋无觅处,得来全不费功夫。生活中处处有数学,只要你肯做有心人,实际例子俯拾皆是。
人民币是人们再熟悉不过的东西了,几乎每天都要和它打交道,但是对于人民币为什么只有1、2、5这三种数额的票面,而没有其它数额的票面这一问题,却很少有人问津。
其实这里就有一个数学道理。人民币作为一种流通货币,银行在发行时就考虑到货币的票额品种要尽量少,并且要能够容易地组成1至9这九个数字。这样既可完成货币的使命,又可以减少流通中的繁琐。通过精心挑选,1、2、5脱颖而出,成为最佳组合之一。因为用1、2、5这三个数可以组成10以内的其它任何数,而且所用的票数最多也只有3个,如:1+2=3,2+2=4,5+1=6,5+2=7,5+2+1=8,5+2+2=9,所以,只要1、2、5几种面额就足够用了。
另外,除了1、2、5这一种组合外,还有1、3、5也是符合前面两个要求的组合,用它也能组成 10以内的其它任何数,如:1+1=2,3+1=4,5+1=6,5+1+1=7,5+3=8,5+3+1=9。
看了以上的分析,你是否对身边的这一数学问题发生兴趣了呢?其实,生活中还有许多有趣的数学问题在等着你去挖掘、去探索……
2.“曹冲称象”的故事,大家都比较熟悉,可是“打捞铁牛”的故事却很少有人知道。
事情发生在很久以前的宋代。
永济县的城门口贴了一张醒目的官府“告示”,上面写着:黄河泛滥,城外浮桥冲毁。两岸拴桥的八大铁牛亦卷入水中。为重建浮桥,镇住洪水,有能力将铁牛一一捞出者,赏银千两……
告示前围着一堆人仰头观看,议论纷纷。人们常说“重赏之下必有勇夫”,可是“赏银千两”,虽是重金,却没有勇夫。一条铁牛数千斤重,那时候又没有现代起重机,谁有这么大的力量,能把铁牛拖上来?更何况铁牛还沉没在水下!有人说:“除非等水退下了,叫几百个人去抬……”
“眼下洪水泛滥,没有铁牛镇住……怎么能等到河水干涸呢?”
官府担忧,百姓也心急。告示贴出多日,无人敢揭榜应召。一天忽然来了个穿着宽大法衣面目清瘦的和尚,他认真地读了几遍告示后,便捋起衣袖,伸手揭下告示,将它折叠起来,从容地拿走。围观的人看着这位身体单薄的光头和尚,一片惊疑,有人鄙夷地问道:“师父,你揭榜是去捞铁牛吗?这话还用问吗?和尚没有回答。有人好奇地问道:“一个铁牛几千斤,八个铁牛数万斤重,师父,莫非有神仙帮助你捞吗?”和尚淡淡一笑,说:“铁牛是被水冲走的,我就让水再把它送上来。”这神神秘秘地回答,更让大家捉摸不透。
打捞铁牛的那天,围观的人群黑压压一片。只见那个光头和尚,请了一些助手,撑着两只木船,果然把铁牛一个个捞了出来。后来人们才知道,这位和尚就是著名的工程学家怀丙。
你能知道怀丙是怎样把铁牛从水里捞出来的吗?
怀丙和尚的方法是:
将两只木船装满泥沙,直至重量使船舷稍高出水面,并在两船之间横拴着一根粗大的木料,将船划到铁牛沉没的水上停下。
再请水性好的人,带着绳索潜入水底,将绳的一端牢系在铁牛身上,另一端拉紧,绑在两船之间的木料上。
最后,叫人把船上的泥沙扔到河里,这样船的重量减轻了,靠水的浮力,船舷便逐渐高离水面,从而通过木料上的绳索把铁牛提起,吊在水中。这样划动船浆,铁牛便被拖到新建浮桥的地方了。
3.传说古希腊的国王,想制一顶与泰尔的王冠一模一样的纯金王冠,便召见一位高明的首饰匠,向他说明了旨意,并如数让他称走了黄金。
过了一段时间之后,首饰匠如期将王冠交来,外表金碧辉煌,确实与泰尔的王冠完全相同,重量也恰如取走的黄金。国王按照自己原先的许诺,给了首饰匠重重的奖励。
但是那个首饰匠的举止行动像个骗子,被取去的黄金会不会偷换下来而掺进了别的金属?面对这个金色的王冠,国王的心一下子冷了!但是不把王冠熔化,又怎能判定黄金中是否掺了假?这么美丽辉煌的王冠,又怎么舍得再熔化?国王被这个难解的疑团日夜缠绕,寝食不安,终于卧病不起。
最后,他召见了阿基米德。
阿基米德是当时最著名的智者。国王把这个难题交给了他:必须检验王冠是不是纯金制造,却又不准损坏王冠的一丝一毫。
阿基米德苦思冥想,把所有想到的办法,都作了尝试,然而仍不能揭开王冠的秘密。他忘记了饮食、睡眠,忘记了洗澡、治病,痴痴迷迷,连梦中都叨念着:“王冠……国王……首饰匠……银子……金子……”
几个星期以后,阿基米德蓬头垢面,妻子把他赶进了浴室里。
当阿基米德浸入水中之后,突然感到自己的体重减轻了,只要轻轻用力,身体就能浮起……此时,他满脑袋的仍是王冠……国王……首饰匠……金子……银子……。身体一会儿沉下,一会儿浮上,浴盆的水位也一会儿升,一会儿降……
阿基米德忽翻身跳起,大声高呼:“有办法了,有办法了!”连衣服也没穿,光着身子直向王宫奔去,路上留下一条湿漉漉的足迹……
你知道,阿基米德从水的浮力中得到了什么启示吗?
解:阿基米德根据身体在浴缸中沉浮引起了水位升降的道理,取了一只盛满水的容器,将王冠放进水中,容器里的水必然溢出。他把溢出的水收集在另一个容器里。
接着他将一块与王冠同样重的纯金,也放进那个盛满水的容器中,再把溢出的水收集起来。
如果王冠是纯金制成的,那么两次溢出的水应该同样多,可是王冠排出的水,与纯金排出的水并不同,说明王冠中掺进了比重与纯金不同的材料,从而断定金冠中被掺了假。
阿基米德终于解决了难题。狡诈的金匠因此受到了惩罚。
4.解放战争时期,我军的两名侦察员在取得了重要情报后,大部队已经老早出发了。他们为了将情报及时送交部队首长,必须抄近路迎头赶去。
近路是一片荒无人烟的茫茫大沙漠。据当地群众说,穿过沙漠需要10天时间,但是根据沙漠的气候特点和人体负荷情况,每天最多只能带8斤食品和8斤水,而每人每天至少要消耗1斤食品和1斤水。这样,最后2天便会因无法得到食品和水的补充而葬身沙漠。
尽管当地可以找到民工,但是民工每人也只能带8斤食品和8斤水,各自所带的粮食和水连自己都不够消耗的。
怎么办呢?急得两个侦察员抓耳挠腮。
两人苦苦的思索着解决办法。
“有了,可以这么办!”忽然一个队员想出了妙法。两人一合计确实可行。
于是两个人便顺利地通过了沙漠,圆满地完成了任务。
他们想了什么办法呢?
解:他们雇用了一个民工,两天后,请民工回去,并给他2斤食品和2斤水供回去的路上用。民工余下的4斤食品和4斤水,两个队员平分,加上他们各自用剩的食品和水,每人仍是8斤食品和8斤水,而此时余下的路程也只需8天了。
除此以外,还可以想出别的办法来。
5. 一代相声大师侯宝林与著名数学家华罗庚相交甚好。
一天两位大师饮酒聊天,你言我语甚是开心之时,侯宝林问华罗庚:“2+3在什么情况下等于4?”华罗庚一时竟无法理解,正当他陷入思考时,侯宝林说:“只要数学家喝醉了,问题不就解决了吗?”
华罗庚禁不住哈哈大笑道:“好一个幽默大师,竞拿我取乐......”他又对侯宝林说:“我麻烦您到街上买一斤桔子汁,外带一包炒米花。一斤桔汁四角四分钱,我这里只给您四角四分,贵了我不买,少了我不依!”
侯宝林接受任务后,很快就回来了,他把一斤桔汁和一包炒米花交给了华罗庚。侯宝林是怎样完成任务的呢?原来侯宝林用四舍五入法走了十家食品店,每家只买一两,打了一斤桔子汁,余下四分钱买了一包炒米花。
6.韩信是汉代的大将,小时候便爱动脑筋,聪明过人。
传说有一天,街上的两个卖油人正在争吵不休。路过这里的韩信,出于好奇,呆呆地看着。他终于明白,原来这两个人合伙卖油,因意见不合,准备把油桶里还剩下的十斤油平分后各奔东西,又为了分油不均而争执不下。
韩信仔细端详着,他们手头没有秤,只有一个能装3斤的油葫芦和一个能装7斤的瓦罐。他们用油桶倒来倒去,双方总不满意,因而吵嚷起来。
有没有办法把油分精确呢?韩信面对两个各不相让的卖油人和眼前的油桶、瓦罐、油葫芦,默默沉思着。忽然眼前一亮,大声说:“你们不要吵了,没有秤,也能够分均匀!”说着,他把办法告诉了卖油人。按照韩信的办法,两个人重新再分,果然都很满意。
解:先用油葫芦连装三次,共装9斤,将7斤的瓦罐注满后,油葫芦里还剩2斤。然后将瓦罐的7斤再全部倒入油桶,这时油桶里是8斤油。再将油葫芦内的2斤油全部倒进瓦罐。最后用空葫芦在油桶里灌满(3斤),倒进瓦罐。这样,油桶里剩下的油和瓦罐中装的油都正好是5斤。双方各分其一,恰好各人所得完全相等。
7.闻名世界的埃及金字塔,几百年来不仅以它宏伟高大的气势吸引了无数旅游观光者,而且由于它设计的别致,建造的精巧,吸引了世界各地的科学家。据对最大的胡夫金字塔的测算,发现它原高146.5米(现因损坏还高137米),基底正方形每边长233米(现为227米)。但是,各底边长度的误差仅仅是1.6厘米,只是全长的14600分之一;基底直角的误差只有12",仅为直角的27000分之一度。此外,金字塔的四个面正向着东南西北,底面正方形两边与正北的偏差,也分别只有2’30"和5’30"。
这么高大的金字塔,建造精度如此之高,这使得科学家深信,古埃及人已掌握了丰富的几何知识。当科学家破译了古埃及人流传下来草片上的文字后,这一猜想得到了证实。
原来,在泥罗河三角洲盛产一种形状如芦苇的水生植物--纸莎草,古埃及人把这种草从纵面剖成小条,拼排整齐,连接成片,压榨晒干,用来写字,在纸莎草上写字。如今将这种纸草书的一部分整理出来,就是上面的样子。
1822年,一位名叫古博良的法国人弄清了它们的含义,使人们知道,古埃及人已学会用数学来管理国家和宗教事务,确定付劳役者的报酬,求谷仓的容积和田地的面积,按土地面积估计应该征收的地税,计算修造房屋和防御工程所需要的砖块数;计算酿造一定量酒所需谷物数量等等。换成数学的语言就是,古埃及人已经掌握了加减乘除运算、分数的运算;他们解决了一元一次方程和一类相当于二元一次方程组的特殊问题。纸草书上还有关于等差数列和等比数列的问题。他们计算矩形、三角形和梯形的面积,长方全、圆柱体、棱台的体积等结果,与现代计算值相近。
由于具有了这样的数学知识,古埃及人建成金字塔就不足为怪了。
8.有一个土耳其商人,想找一个助手。有两个人前来报名,商人想测验一下这两人中谁更聪明。他把两人带进一间既没有镜子,也没有窗户,全靠灯来照明的房子里。然后商人打开一个盒子说:“这里面有五顶帽子,两顶红的,三顶黑的,现在我把灯熄掉,我们三人每人摸一顶戴在自己的头上,然后我把盒子盖上,点亮灯后,你们要尽快说出自己头上戴的什么颜色的帽子。”说毕,就照着做了。当灯亮之后,两个人都看见商人戴着一顶红帽子。过了一瞬间,其中一个人说:“我戴的是黑色的帽子!”这个人猜对了。想一想,他是怎么猜对的?
想:应首先排除不可能的情况,然后一步步推出必然出现的情况。
解:猜对的人是这样推想的:一共两顶红帽子,商人头上已经戴了一顶红帽子,如果我戴的是红帽子,对方马上就能断定自己戴的是黑帽子。
我们都不能马上判断,显然对方和我戴的一样,都是黑色的帽子。由于他抢先一步,就猜对了。
9.我国已故著名的数学家华罗庚爷爷出生在一个摆杂货店的家庭,从小体弱多病,但他凭借自己一股坚强的毅力和崇高的追求,终于成为一代数学宗师。
少年时期的华罗庚就特别爱好数学,但数学成绩并不突出。19岁那年,一篇出色的文章惊动了当时著名的数学家熊庆来。从此在熊庆来先生的引导下,走上了研究数学的道路。晚年为了国家经济建设,把纯粹数学推广应用到工农业生产中,为祖国建设事业奋斗终生!
华爷爷悉心栽培年轻一代,让青年数学家茁壮成儿使他们脱颖而出,工作之余还不忘给青多年朋友写一些科普读物。下面就是华罗庚爷爷曾经介绍给同学们的一个有趣的数学游戏:
有位老师,想辨别他的3个学生谁更聪明。他采用如下的方法:事先准备好3顶白帽子,2顶黑帽子,让他们看到,然后,叫他们闭上眼睛,分别给戴上帽子,藏起剩下的2顶帽子,最后,叫他们睁开眼,看着别人的帽子,说出自己所戴帽子的颜色。
3个学生互相看了看,都踌躇了一会,并异口同声地说出自己戴的是白帽子。
聪明的小读者,想想看,他们是怎么知道帽子颜色的呢?“
为了解决上面的伺题,我们先考虑“2人1顶黑帽,2顶白帽”问题。因为,黑帽只有1顶,我戴了,对方立刻会说自己戴的是白帽。但他踌躇了一会,可见我戴的是白帽。
这样,“3人2顶黑帽,3顶白帽”的问题也就容易解决了。假设我戴的是黑帽子,则他们2人就变成“2人1顶黑帽,2顶白帽”问题,他们可以立刻回答出来,但他们都踌躇了一会,这就说明,我戴的是白帽子,3人经过同样的思考,于是,都推出自己戴的是白帽子。
看到这里。同学们可能会拍手称妙吧。后来,华爷爷还将原来的问题复杂化,“n个人,n-1顶黑帽子,若干(不少于n)顶白帽子”的问题怎样解决呢?运用同样的方法,便可迎刃而解。他并告诫我们:复杂的问题要善于“退”,足够地“退”,“退”到最原始而不失去重要性的地方,是学好数学的一个诀窃。
10.数学之所以有生命力,就在于有趣。数学之所以有趣,就在于它对思维的启迪。
以下就是一则概率论起源的故事。
更早些时候,法国有两个大数学家,一个叫做巴斯卡尔,一个叫做费马。
巴斯卡尔认识两个赌徒,这两个赌徒向他提出了一个问题。他们说,他俩下赌金之后,约定谁先赢满5局,谁就获得全部赌金。赌了半天, A赢了4局, B赢了3局,时间很晚了,他们都不想再赌下去了。那么,这个钱应该怎么分? 是不是把钱分成7份,赢了4局的就拿4份,赢了3局的就拿3份呢?或者,因为最早说的是满5局,而谁也没达到,所以就一人分一半呢?
这两种分法都不对。正确的答案是:赢了4局的拿这个钱的3/4,赢了3局的拿这个钱的1/4。
为什么呢?假定他们俩再赌一局,或者 A赢,或者 B赢。若是 A赢满了5局,钱应该全归他; A如果输了,即 A、 B各赢4局,这个钱应该对半分。现在, A赢、输的可能性都是1/2,所以,他拿的钱应该是1/2×1+1/2×1/2=3/4,当然, B就应该得1/4。
通过这次讨论,开始形成了概率论当中一个重要的概念—————数学期望。
在上述问题中,数学期望是一个平均值,就是对将来不确定的钱今天应该怎么算,这就要用 A赢输的概率1/2去乘上他可能得到的钱,再把它们加起来。
概率论从此就发展起来,今天已经成为应用非常广泛的一门学科。