欧拉定理，这个数学界的瑰宝，是由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉命名的，它是数论领域的一个重要性质，也被称为费马-欧拉定理或欧拉函数定理。这个定理揭示了同余关系中的一个美丽规律：如果正整数n和a互质，那么a的φ(n)次幂（φ(n)为欧拉函数，表示小于n且与n互质的正整数的数量）对于模n的余数等于1。简单来说，就是a^(φ(n)) ≡ 1 (mod n)。

证明欧拉定理的过程涉及将与n互质的数a乘以这些数的倍数，然后通过同余性质和互质性，证明这些乘积在模n下的余数等于与n互质的数的乘积。这个定理实际上是费马小定理的推广，后者表述为：若a不能被质数p整除，则a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。

欧拉定理的应用广泛，例如计算幂的模运算时，可以大大简化计算。比如，当我们想知道7^{222}除以10的余数时，可以利用7与10互质且φ(10)=4的事实，将问题简化为求7^4的4次幂对10的余数，因为7^4 ≡ 1 (mod 10)。

总的来说，欧拉定理是数学中的一个强大工具，它在数论、几何甚至经济学中都有其独特的地位，证明了数学的优雅与实用性。