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绝对值的化简
时间:2024-12-23 18:32:26
答案

对值是初中代数中的一个基本概念,在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式,以及求解方程与不等式时,经常会遇到含有绝对值符号的问题,同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题.

下面我们先复习一下有关绝对值的基本知识,然后进行例题分析.

一个正实数的绝对值是它本身;一个负实数的绝对值是它的相反数;零的绝对值是零.即

绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识,它与距离的概念密切相关.在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值.

结合相反数的概念可知,除零外,绝对值相等的数有两个,它们恰好互为相反数.反之,相反数的绝对值相等也成立.由此还可得到一个常用的结论:任何一个实数的绝对值是非负数.

例1 a,b为实数,下列各式对吗?若不对,应附加什么条件?

(1)|a+b|=|a|+|b|;

(2)|ab|=|a||b|;(3)|a-b|=|b-a|;

(4)若|a|=b,则a=b;

(5)若|a|<|b|,则a<b;

(6)若a>b,则|a|>|b|.

解 (1)不对.当a,b同号或其中一个为0时成立.(2)对.

(3)对.

(4)不对.当a≥0时成立.

(5)不对.当b>0时成立.

(6)不对.当a+b>0时成立.

例2 设有理数a,b,c在数轴上的对应点如图1-1所示,化简|b-a|+|a+c|+|c-b|.

解 由图1-1可知,a>0,b<0,c<0,且有|c|>|a|>|b|>0.根据有理数加减运算的符号法则,有b-a<0,a+c<0,c-b<0.

再根据绝对值的概念,得

|b-a|=a-b,|a+c|=-(a+c),|c-b|=b-c.

于是有

原式=(a-b)-(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-2c.

例3 已知x<-3,化简:|3+|2-|1+x|||.

分析 这是一个含有多层绝对值符号的问题,可从里往外一层一层地去绝对值符号.

解 原式=|3+|2+(1+x)||(因为1+x<0)

=|3+|3+x||

=|3-(3+x)|(因为3+x<0)

=|-x|=-x.

解 因为 abc≠0,所以a≠0,b≠0,c≠0.

(1)当a,b,c均大于零时,原式=3;

(2)当a,b,c均小于零时,原式=-3;

(3)当a,b,c中有两个大于零,一个小于零时,原式=1;

(4)当a,b,c中有两个小于零,一个大于零时,原式=-1.

说明 本例的解法是采取把a,b,c中大于零与小于零的个数分情况加以解决的,这种解法叫作分类讨论法,它在解决绝对值问题时很常用.

例5 若|x|=3,|y|=2,且|x-y|=y-x,求x+y的值.

解 因为|x-y|≥0,所以y-x≥0,y≥x.由|x|=3,|y|=2可知,x<0,即x=-3.

(1)当y=2时,x+y=-1;

(2)当y=-2时,x+y=-5.

所以x+y的值为-1或-5.

例6 若a,b,c为整数,且|a-b|19+|c-a|99=1,试计算|c-a|+|a-b|+|b-c|的值.

解 a,b,c均为整数,则a-b,c-a也应为整数,且|a-b|19,|c-a|99为两个非负整数,和为1,所以只能是

|a-b|19=0且|c-a|99=1, ①

|a-b|19=1且|c-a|99=0. ②

由①有a=b且c=a±1,于是|b-c|=|c-a|=1;由②有c=a且a=b±1,于是|b-c|=|a-b|=1.无论①或②都有

|b-c|=1且|a-b|+|c-a|=1,

所以

|c-a|+|a-b|+|b-c|=2.

解 依相反数的意义有

|x-y+3|=-|x+y-1999|.

因为任何一个实数的绝对值是非负数,所以必有|x-y+3|=0且|x+y-1999|=0.即

由①有x-y=-3,由②有x+y=1999.②-①得

2y=2002, y=1001,

所以

例8 化简:|3x+1|+|2x-1|.

分析 本题是两个绝对值和的问题.解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号.若分别去掉每个绝对值符号,则是很容易的事.例如,化简|3x+1|,只要考虑3x+1的正负,即可去掉绝对值符号.这里我们

为三个部分(如图1-2所示),即

这样我们就可以分类讨论化简了.

原式=-(3x+1)-(2x-1)=5x;

原式=(3x+1)-(2x-1)=x+2;

原式=(3x+1)+(2x-1)=5x.

说明 解这类题目,可先求出使各个绝对值等于零的变数字母的值,即先求出各个分界点,然后在数轴上标出这些分界点,这样就将数轴分成几个部分,根据变数字母的这些取值范围分类讨论化简,这种方法又称为“零点分段法”.

例9 已知y=|2x+6|+|x-1|-4|x+1|,求y的最大值.

分析 首先使用“零点分段法”将y化简,然后在各个取值范围内求出y的最大值,再加以比较,从中选出最大者.

解 有三个分界点:-3,1,-1.

(1)当x≤-3时,

y=-(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=x-1,

由于x≤-3,所以y=x-1≤-4,y的最大值是-4.

(2)当-3≤x≤-1时,

y=(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=5x+11,

由于-3≤x≤-1,所以-4≤5x+11≤6,y的最大值是6.

(3)当-1≤x≤1时,

y=(2x+6)-(x-1)-4(x+1)=-3x+3,

由于-1≤x≤1,所以0≤-3x+3≤6,y的最大值是6.

(4)当x≥1时,

y=(2x+6)+(x-1)-4(x+1)=-x+1,

由于x≥1,所以1-x≤0,y的最大值是0.

综上可知,当x=-1时,y取得最大值为6.

例10 设a<b<c<d,求

|x-a|+|x-b|+|x-c|+|x-d|

的最小值.

分析 本题也可用“零点分段法”讨论计算,但比较麻烦.若能利用|x-a|,|x-b|,|x-c|,|x-d|的几何意义来解题,将显得更加简捷便利.

解 设a,b,c,d,x在数轴上的对应点分别为A,B,C,D,X,则|x-a|表示线段AX之长,同理,|x-b|,|x-c|,|x-d|分别表示线段BX,CX,DX之长.现要求|x-a|,|x-b|,|x-c|,|x-d|之和的值最小,就是要在数轴上找一点X,使该点到A,B,C,D四点距离之和最小.

因为a<b<c<d,所以A,B,C,D的排列应如图1-3所示:

所以当X在B,C之间时,距离和最小,这个最小值为AD+BC,即(d-a)+(c-b).

例11 若2x+|4-5x|+|1-3x|+4的值恒为常数,求x该满足的条件及此常数的值.

分析与解 要使原式对任何数x恒为常数,则去掉绝对值符号,化简合并时,必须使含x的项相加为零,即x的系数之和为零.故本题只有2x-5x+3x=0一种情况.因此必须有

|4-5x|=4-5x且|1-3x|=3x-1.

故x应满足的条件是

此时

原式=2x+(4-5x)-(1-3x)+4

=7.

练习二

1.x是什么实数时,下列等式成立:

(1)|(x-2)+(x-4)|=|x-2|+|x-4|;

(2)|(7x+6)(3x-5)|=(7x+6)(3x-5).

2.化简下列各式:

(2)|x+5|+|x-7|+|x+10|.

3.若a+b<0,化简|a+b-1|-|3-a-b|.

4.已知y=|x+3|+|x-2|-|3x-9|,求y的最大值.

5.设T=|x-p|+|x-15|+|x-p-15|,其中0<p<15,对于满足p≤x≤15的x来说,T的最小值是多少?

6.已知a<b,求|x-a|+|x-b|的最小值.

7.不相等的有理数a,b,c在数轴上的对应点分别为A,B,C,如果|a-b|+|b-c|=|a-c|,那么B点应为( ).

(1)在A,C点的右边;

(2)在A,C点的左边;

(3)在A,C点之间;

(4)以上三种情况都有可能.

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