均值不等式是数学中关于各种平均数之间关系的基本定理。首先，我们有四种主要的平均数类型：

调和平均数 Hn，定义为 Hn = n / (1/a1 + 1/a2 + ... + 1/an)

几何平均数 Gn，计算公式为 Gn = (a1 * a2 * ... * an)^(1/n)

算术平均数 An，即 An = (a1 + a2 + ... + an) / n

平方平均数 Qn，等于 Qn = √[(a1^2 + a2^2 + ... + an^2) / n]

关键的均值定理表明，对于正实数 a 和 b，有 (a + b) / 2 ≥ √(ab)，并且这个不等式只有当 a = b 时才会取到等号。这四种平均数之间存在关系：Hn ≤ Gn ≤ An ≤ Qn。

更一般地，可以定义函数 D(r) = [(a1^r + a2^r + ... + an^r) / n]^(1/r)（当 r ≠ 0 时），或者当 r = 0 时，为 D(0) = (a1 * a2 * ... * an)^(1/n)。这样，我们可以看到均值不等式的扩展形式，比如中学常用的一个例子是：2 / (1/a + 1/b) ≤ √(ab) ≤ (a + b) / 2 ≤ √[(a^2 + b^2) / 2]。

均值定理的证明依赖于 a 和 b 都是正数，通过展开和利用不等式 a + b ≥ 2√(ab)，我们得出结论 a + b/2 ≥ √(ab)，等号成立当且仅当 a = b。

扩展资料

1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an) 2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n) 3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n 4、平方平均数：Qn=√ (a1^2+a2^2+...+an^2)/n 这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn 的式子即为均值不等式。