高一数学必修1各章知识点总结
第一章 集合与函数概念
一、集合有关概念
1. 集合的含义
2. 集合中元素的三个特性:
- 元素的确定性
- 元素的互异性
- 元素的无序性
3. 集合的表示:{…}
- 用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员}, B={1,2,3,4,5}
- 集合的表示方法:列举法与描述法
- 列举法:{a,b,c…}
- 描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法
4. 集合的分类:
- 有限集:含有有限个元素的集合
- 无限集:含有无限个元素的集合
- 空集:不含任何元素的集合
二、集合间的基本关系
- “包含”关系—子集
- A是B的一部分,记作AB
- A与B是同一集合,记作AB或BA
- “相等”关系:A=B
- 任何一个集合是它本身的子集
- 真子集:A是B的真子集,记作AB或BA
- 如果A是B的子集,B是C的子集,那么A也是C的子集
- 如果A是B的子集同时B是A的子集,那么A=B
三、集合的运算
- 交:由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作AB
- 并:由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集.记作AB
- 补:设S是一个集合,A是S的一个子集,由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集)
四、集合的性质
- 并集的性质:AA=A, AΦ=Φ, AB=BA, ABA=ABB
- 补集的性质:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集
五、集合的运算规则
- 交的运算规则:AA=A, AΦ=Φ, AB=BA, ABΑ=ABB
- 并的运算规则:AA=A, AΦ=A, AB=BA, ABΑ=A(AB)
- 补的运算规则:A(B)=A, A(Φ)=Φ, (AB)=A, (Φ)=Φ
六、Venn图
- 用于表示集合的交、并、补集的关系
七、函数的定义
- 设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作:y=f(x),x∈A
- 函数的定义域:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域
- 函数的值域:与x的值相对应的y值组成的集合
八、函数的性质
- 定义法、图象法、复合函数法判断函数的单调性
- 利用二次函数的性质判断函数的单调性
- 利用图象判断函数的单调性
- 函数的奇偶性:偶函数、奇函数
- 函数的解析表达式:凑配法、待定系数法、换元法、消参法
- 函数最大(小)值:利用二次函数的性质、图象法、函数单调性
九、分段函数
- 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数
- 分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集
十、指数函数和对数函数
- 指数函数的概念:一般地,函数叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域为R
- 对数函数的概念:函数,且叫做对数函数,其中是自变量,函数的定义域是(0,+∞)
十一、幂函数
- 幂函数定义:一般地,形如的函数称为幂函数,其中为常数
- 幂函数性质归纳:所有的幂函数在(0,+∞)都有定义并且图象都过点(1,1);时,幂函数的图象通过原点,并且在区间上是增函数;时,幂函数的图象在区间上是减函数
十二、方程的根与函数的零点
- 函数零点的概念:对于函数,把使成立的实数叫做函数的零点
- 函数零点的意义:函数的零点就是方程实数根,亦即函数的图象与轴交点的横坐标
- 函数零点的求法:代数法、几何法
十三、二次函数的零点
- 二次函数的零点:二次函数.
- △>0,方程有两不等实根,二次函数的图象与轴有两个交点,二次函数有两个零点
- △=0,方程有两相等实根,二次函数的图象与轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点
- △<0,方程无实根,二次函数的图象与轴无交点,二次函数无零点
第二章 基本初等函数
一、指数函数
- 指数函数的概念:一般地,函数叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域为R
- 指数函数的图象和性质:a>1时,值域y>0;0 - 指数函数的单调性:在R上单调递增或递减 二、对数函数 - 对数函数的概念:函数,且叫做对数函数,其中是自变量,函数的定义域是(0,+∞) - 对数函数的性质: a>1 0 三、幂函数 - 幂函数定义:一般地,形如的函数称为幂函数,其中为常数 - 幂函数性质归纳:所有的幂函数在(0,+∞)都有定义并且图象都过点(1,1);时,幂函数的图象通过原点,并且在区间上是增函数;当时,幂函数的图象在区间上是减函数 第三章 函数的应用 一、方程的根与函数的零点 - 函数零点的概念:对于函数,把使成立的实数叫做函数的零点 - 函数零点的意义:函数的零点就是方程实数根,亦即函数的图象与轴交点的横坐标 - 函数零点的求法:代数法、几何法 二、函数的单调性 - 函数单调性的概念:函数的局部性质 - 二次函数的单调性:二次函数. - △>0,方程有两不等实根,二次函数的图象与轴有两个交点,二次函数有两个零点 - △=0,方程有两相等实根,二次函数的图象与轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点 - △<0,方程无实根,二次函数的图象与轴无交点,二次函数无零点 三、函数的奇偶性 - 奇函数的定义:一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么f(x)就叫做奇函数 - 偶函数的定义:一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数 - 奇偶性的图象特征:奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于y轴对称 四、函数的解析表达式 - 函数解析式的求法:凑配法、待定系数法、换元法、消参法 五、函数最大(小)值 - 函数最大(小)值的求法:利用二次函数的性质、图象法、函数单调性 六、分段函数 - 分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集 七、指数函数和对数函数的应用 - 指数函数和对数函数在实际问题中的应用,如人口增长、放射性衰变等 八、幂函数的应用 - 幂函数在实际问题中的应用,如面积计算、体积计算等 以上是对高一数学必修1各章知识点的总结