求函数值域的几种常见方法

1直接法：利用常见函数的值域来求

一次函数y=ax+b(a 0)的定义域为R，值域为R；

反比例函数 的定义域为{x|x≠0},值域为{y|y≠0}；

二次函数的定义域为R

当a>0时，值域为{y|y≥(4ac-b??)/4a}；

当a<0时，值域为{y|y≤(4ac-b??)/4a}

例1．求下列函数的值域① y=3x+2(-1≤x≤1) ②y=x??-2x+3

解：①∵-1≤x≤1，∴-3≤3x≤ 3，∴-1≤3x+2≤5，即-1≤y≤5，

∴值域是y∈[-1，5]

②y=x??-2x+3

∵1>0,∴y(min)=(4ac-b??)/4a=[4×1×3-（-2）??]/4×1=1

即函数的值域是{y|y≥2}2．

二次函数在定区间上的值域(最值)：

①f(x)=x??-6x+12 x∈[4,6]

因为对称轴x=-b/2a=-(-6)/2×1=3 二次项系数1>0

所以f(x)=x??-6x+12 在x∈[4,6]是增函数

所以f(x)min=f(4)=4 f(x)max=f(6)=12

f(x)的值域是[4,12]

②f(x)=x??-6x+12 x∈[0,5]

因为对称轴x=-b/2a=-(-6)/2×1=3 二次项系数1>0

所以f(x)=x??-6x+12 在x∈[0,3]是减函数，在x∈(3,5]是增函数

所以f(x)min=f(3)=3 而f(0)=12 f(5)=7，所以f(x)max=f(0)=12

f(x)的值域是[3,12]

3观察法求y=(√x)+1的值域

∵√x≥0 ∴√x+1≥1∴y=(√x)+1的值域是[1,+∞)

4配方法求y=√(x??-6x-5)的值域

∵-x??-6x-5≥0可知函数的定义域是[-5,-1]

∵-x??-6x-5=-(x+3)??+4因为-5≤x≤-1

所以-2≤x+3≤2 所以0≤(x+3)??≤4所以-4≤-(x+3)??≤0

终于得到0≤-(x+3)??+4≤4所以0≤√(x??-6x-5)≤2

所以y=√(x??-6x-5)的值域是[0,2]

5.图像法求y=｜x+3｜+｜x-5｜的值域

解：因为y=-2x+2(x<-3)

y=8 (-3≤x<5)

y=2x-2(x≥5)

自己画图像由图可知y=｜x+3｜+｜x-5｜的值域是[8,＋∞)

6.利用有界性求y=3^x/（1+3^x）的值域

解y=3^x/（1+3^x）两边同乘以1+3^x

所以 3^x=y（1+3^x)3^x=y+y3^x3^x-y3^x=y(1-y)3^x=y3^x=y/(1-y)

因为3^x>0 所以 y/(1-y)>0 解得 0

7判别式法求y=1/(2x??-3x+1)解

∵2x??-3x+1≠0∴函数的定义域是{x｜x∈R,且x≠1, x≠1/2}

将函数变形可得2yx??-3yx+y-1=0当y≠0时,

上述关于x的二次方程有实数解Δ=9y??-8y(y-1)≥0所以y≤-8或y≥0

当y=0时，方程无解，所以=0不是原函数的值

所以y=1/(2x??-3x+1)的值域是(-∞,-8]∪(0,+∞)

8换元法求y=2x－√（x-1)的值域

解令t=√（x-1)显然t≥0以x=t??+1所以y=2(t??+1)-t=2t??-t+2=2(t-1/4)??+15/8

因为t≥0所以y=2x－√（x-1)的值域是[15/8,+∞) 9.三角函数与二次函数结合求y=（sinx+1）（2cosx-2）（x∈R）的值域

因为y=2sinxcosx-2sinx+2cosx-2=2sinxcosx-2(sinx-cosx)-2

令sinx-cosx=t

因为(sinx-cosx)??=t??

sin??x-2sinxcosx+cos??x=t??

1-2sinxcosx=t??

所以2sinxcosx=1-t??,

所以y=1-t??-2t-2y=-t??-2t-1=-（t+1)??

又因为t=sinx-cosx=√2sin(x-π/4)

由正弦函数的性质可得-√2≤t≤√2

因为-1∈[-√2,√2]由由二次函数在限定区间的单调性可

得当t=-1时,y取最大值 y(max)=0当t=√2时,,y取最小值 y(min)=-3-2√2

所以原函数的值域为[-3-2√2,0]