如何判断矩阵合同如下：

1.性质

合同关系是一个等价关系，也就是说满足：反身性：任意矩阵都与其自身合同；对称性：A合同于B，则可以推出B合同于A；传递性：A合同于B，B合同于C，则可以推出A合同于C；合同矩阵的秩相同。

矩阵合同的主要判别法：设A,B均为复数域上的n阶对称矩阵,则A与B在复数域上合同等价于A与B的秩相同.设A,B均为实数域上的n阶对称矩阵,则A与B在实数域上合同等价于A与B有相同的正、负惯性指数（即正、负特征值的个数相等）。

2.正定二次型

半正定二次型：其对应的对称矩阵在实数域内可以合同到一个对角线元素只由0和1构成的对角矩阵。一个二次型是半正定二次型，当且仅当它的正惯性指数等于它对应矩阵的秩。正定二次型：其对应的对称矩阵在实数域内合同于单位阵。

一个n元二次型是正定二次型，当且仅当它的正惯性指数是n。正定二次型对应矩阵一定是可逆矩阵，且行列式大于0。同样的可以定义半负定、负定和不定的二次型。

3.合同矩阵发展史

1855年，埃米特证明了其他数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如称为埃米特矩阵的特征根性质等。后来，克莱伯施、布克海姆等证明了对称矩阵的特征根性质。泰伯(H.Taber) 引入矩阵的迹的概念并得出了一些有关的结论。

在矩阵论的发展史上，弗罗伯纽斯的贡献是不可磨灭的。他讨论了最小多项式问题，引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念，以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论，并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质。