垂心

三角形三边上的三条高线交于一点，称为三角形垂心。

锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角的顶点；钝角三角形的垂心在三角形外.。

三角形只有一个垂心

垂心公式：

A(x1,y1)B(x2,y2)C(x3,y3)，垂心H(x0,y0)

用斜率是负倒数关系Kbc=y3-y2/x3-x2 Kah=y1-y0/x1-x0 Kah=-1/Kbc

得到方程(y3-y2)/(x3-x2)=-(x1-x0)/(y1-y0)

同理可得方程(y2-y1)/(x2-x1)=-(x3-x0)/(y3-y0)

解出x0,y0即可

三角形垂心有下列有趣的性质：设△ABC的三条高为AD、BE、CF，其中D、E、F为垂足,垂心为H。

性质1 垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上。

性质2 △ABC中,有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AH·HD=BH·HE=CH·HF。

性质3 H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一垂心组)。

性质4 △ABC,△ABH,△BCH,△ACH的外接圆是等圆。

性质5 在非直角三角形中,过H的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则 AB/AP·tanB+ AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC。

性质6 三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。

性质7 设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。

性质8 锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。

性质9 锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短