分3类，标准是圆心与弦切角的相对位置

设AP切⊙O于P，PQ是弦

则∠APQ是弦切角，∠APQ夹的弧是弧PQ，弧PQ所对的圆周角记为∠PCQ

只需证明∠APQ=∠PCQ

1° O在∠APQ外部

    过P作直径BP，联结BC

    则BP⊥AP，∠APB=90°，且∠BCP是直径BP所对的圆周角，∠BCP=90°

    则有∠APB=∠BCP，即∠APQ+∠BPQ=∠BCQ+∠PCQ

    由于∠BPQ，∠BCQ都是弧BQ所对的圆周角，所以∠BPQ=∠BCQ

    所以∠APQ=∠PCQ

2° O在∠APQ的一边，PQ上

    此时PQ是直径，则PQ⊥AP，∠APQ=90°

    而且∠PCQ是直径PQ所对的圆周角，∠PCQ=90°

    所以∠APQ=∠PCQ

3° O在∠APQ内部

    过P作直径BP，联结BC

    则BP⊥AP，∠APB=90°，且∠BCP是直径BP所对的圆周角，∠BCP=90°

    则有∠APB=∠BCP

    由于∠BPQ，∠BCQ都是弧BQ所对的圆周角，所以∠BPQ=∠BCQ

    所以∠APB+∠BPQ=∠BCP+∠BCQ

    即∠APQ=∠PCQ