柯西不等式是一个基本的数学定理，它描述了两个向量的点积与向量模的平方之间的关系。具体来说，对于两个向量→a=（x1, y1）和→b=（x2, y2），我们可以写出如下不等式：

/→a·→b/ ≤ /→a|·|→b|，其中/→a|表示向量→a的模长，即√(x1^2 + y1^2)，/→b|同理。这个不等式可以进一步推广到n维空间，即(a1·b1 + a2·b2 + ... + an·bn)^2 ≤ (a1^2 + a2^2 + ... + an^2) * (b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)。

当且仅当向量满足ad=bc时，等号成立。这表明，向量之间的比例关系对等号的成立至关重要。更一般地，对于n维向量α=(a1, a2, ..., an)和β=(b1, b2, ..., bn)，有(∑(ai^2))(∑(bi^2)) ≥ (∑ai·bi)^2，等号成立条件是α与β成比例，或者至少有一个向量是零向量。

柯西不等式还有其扩展形式，如卡尔松不等式，它描述了矩阵中行和与列和的几何平均值的关系。在m*n矩阵中，每一行的和与每一列的和的几何平均数的乘积，不小于这两个数的几何平均值的乘积的几何平均数。

在概率论中，柯西不等式也有所体现，即对于随机变量X和Y，其期望值的平方根的乘积，至少等于它们乘积期望值的绝对值，即√E(X) √E(Y) ≥ |E(XY)|。

扩展资料

柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。 柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。 柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。