本文详细解析了条件期望的基本概念和重要性质。以下是核心内容的概述：

1. 条件期望的定义

条件期望是概率论中的重要概念，其初等定义基于条件概率。对于离散型和连续型随机变量，公式如下：

离散型：

[公式]

[公式]

连续型：

[公式]

[公式]

推广定义涉及随机变量间的分布函数和期望值关系，通过Radon-Nikodým定理，我们可以找到一个可测函数[公式]，使得[公式]成立。

2. 条件期望的性质

条件期望具有几个关键性质，如线性、不变性和可加性，具体表示为：

[公式]

[公式]

[公式]

[公式]

[公式]

[公式]

其中，[公式]表示非空原子的概念，部分平均定理指出在原子集上，条件期望等于随机变量的平均值。

例子与应用

例如，若[公式]，[公式]i.d.且独立，可以证明[公式]的条件期望为[公式]。

证明步骤略。