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为什么函数有下界和上界呢?
时间:2024-12-23 20:55:33
答案

如果有上界,上界将有无数个,同理,如果有下界,下界也将有无数个。

先来看有界的定义,及其中上下界的定义:

设f(x)是区间E上的函数。若对于任意的x属于E,存在常数m、M,使得m≤f(x)≤M,则称f(x)是区间E上的有界函数。其中m称为f(x)在区间E上的下界,M称为f(x)在区间E上的上界。

根据定义可知,如果那个常数M,使得不等式f(x)≤M成立,那么这个M就可以称为f(x)的上界。

那么假设我们已经找到了一个M,使得不等式f(x)≤M成立,这样M是这个函数的上界。那么请问,常数M+1是否能满足不等式f(x)≤M+1呢?很明显,也能满足,任何比M大的常数,都能满足比f(x)大的要求。所以一旦我们找到一个上界M,那么所有比M大的常数都是这个函数的上界。而这些上界中有一个最小的,被称为上确界。

下界也是一样。

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