向量的公式有很多，以下是其中一些主要的公式：

向量的模公式：对于向量a，其模定义为向量的大小或长度，表示为|a|。计算公式为：|a| = √，其中x和y是向量的坐标。这个公式用于计算向量的大小。

向量的线性组合公式：对于向量a和b的线性组合，其表达式为c1*a + c2*b，其中c1和c2是常数。这个公式描述了如何通过权重将多个向量相加得到新的向量。

向量点乘公式：点乘结果是一个标量，计算公式为：a·b = |a|*|b|*cosθ，其中θ是向量a和b之间的夹角。点乘用于衡量两个向量的夹角以及它们各自的长度。

向量叉乘公式：叉乘结果是一个向量，计算公式为：a × b = |a|*|b|*sinθ，且其结果向量的方向遵循特定的规则。叉乘用于计算向量间的垂直关系以及它们的大小。

详细解释如下：

向量的模是表示向量长度或大小的量度，通过坐标值计算得出。在计算过程中，我们使用平方和开方的公式来得到模的值。模的计算在向量运算中非常基础且重要。

向量的线性组合展示了如何通过不同的权重对多个向量进行相加，得到一个新的向量。这在解决许多物理和工程问题时非常有用，特别是在处理多维度的数据时。

点乘和叉乘是两种基本的向量运算，它们提供了关于向量间关系的重要信息。点乘结果是一个标量，反映了两个向量的夹角以及它们的长度信息。而叉乘结果是一个向量，其方向与输入向量的平面垂直，提供了关于向量间垂直关系的信息。这两种运算在几何、物理和工程领域都有广泛的应用。