我看您可以这样做：

已知：cosα=0.4，即sin(90°-α)=0.4<0.5，可以近似计算如下：sin1°≈2×3.14÷360°=0.0174。 (90°-α)≈0.4÷0.0174=23.0°。 α=90°-23.0°=67°。如果用计算器的话，0.4的反余弦为66.4°可见误差是很小的。您看呢？

以上是12-21 04:19做的回答。现再补充说明一下：

作近似计算的时候，如果角度α＜45°，sinα≈α（弧度），即这个角的正弦值近似等于该角的弧度值，或者说，这个角的正弦值近似正比于该角的角度。1°的正弦值近似等于1°的弧度值。就是sin1°≈2π/360°=0.01745。

我们知道，sin45°=√2/2=0.707，sin30°=0.5，sin15°=0.2588。

试用上面的式子近似计算，则有sin45°≈0.01745×45=0.785，sin30°≈0.01745×30=0.5235，sin15°≈0.01745×15=0.2618。

误差分别是(0.785-0.707)÷0.707×100%=11.0%，(0.5235-0.5)÷0.5×100%=4.7%，(0.2618-0.2588)÷0.2588×100%=1.16%。可见误差并不大，而且角度越小，误差越小，越准确。

您说，“已经算出邻边比斜边的比值是0.4”，就是cosα=0.4。改用正弦函数来表示，cosα=sin(90°-α)=0.4＜0.707，更＜0.5，所以可以近似计算：(90°-α)≈0.4÷0.01745=22.92°。即α≈90°-22.92°=67.08°≈67°。用查表或用计算器，cosα=0.4，则α=66.42°，误差是(67.08°-66.42°)÷66.42°×100%=0.99%≈1%。可见，误差是很小的。