在前文以列向量的视角剖析了线性方程组的理论和特性后，今天我们将换个角度，探索行向量的视角。本文我们将聚焦于实数域上的齐次线性方程组，以全新的视角揭示其背后的几何意义。

内积与向量夹角

首先，我们引入内积，它是向量点乘的推广。对向量和，它们的内积定义为。这个定义看似抽象，但直观上，当取和取时，它就简化为我们熟知的二维或三维向量的点积，从而定义出向量的夹角，比如，当取为和时，就对应于平面上或空间中向量的夹角。内积的引入，正是为了将这种直观的几何概念推广至高维空间。

行向量视角下的齐次方程组

当我们从行向量的角度审视齐次线性方程组，如，矩阵是系数矩阵，是向量，它的解即寻找使得与所有行向量正交的。在三维空间中，例如方程组，寻找解就等同于找到一个向量与和都垂直，这清晰地展示了方程组的几何结构。一般情况下，解空间的维数由矩阵的行向量决定，如解空间维数公式所示。

实例解析

通过李尚志老师《线性代数》课本中的例2，我们可以看到如何利用行向量视角解决实际问题。给定向量，我们求解满足条件的齐次方程组，其实质是寻找与给定向量正交的向量。这个过程，无论给定矩阵还是解，本质上都是求解正交问题，即求解齐次线性方程组。

对于最小二乘法，非齐次线性方程组无解时，我们寻找误差最小的解，即最小二乘解。这里，误差项与列向量正交，最小二乘解给出了最佳逼近，将响应分解为估计项和误差项，两者相互垂直，勾股定理进一步揭示了它们之间的关系。

总结与启示

从行向量的观点看，线性方程组不仅是数学理论，更是几何思维的体现。通过内积和正交概念，我们能更好地理解高维空间中的线性关系，无论是求解基础解系还是最小二乘法，行向量都提供了直观的几何解释。正如封面上的图像所示，这样的视角转换让线性方程组背后的数学结构更加生动易懂。