换元的方法有:局部换元、三角换元、均值换元等。 换元的种类有:等参量换元、非等量换元
(一) 代数换元法
例 解方程 —=1
解 :令=t ( t0 )
则=1+t
于是有:
(1)-(2) 得:t = 2 代入(2)得:
2x2-3x-2 = 0 解之得:x1 = 2, x2 = -
经检验知:x1 = 2和 x2 = -均为原方程的解。
例2 求证: ( )
证明:令 y = 则:x2+2 = y2+1
从而原式 =
所以
小结:例1小结:通过换元避免了常规解法中两次平方的复杂运算,使问题更加容易解决。此曰:代数换元法。例2通过换元使问题更加明朗。再用均值证明不等式。
例3求函数y = sinxcosx + sinx + cosx的值域
解: 令 t = sinx + cosx = sin(x+)
则 t[]
而 sinxcosx = [(sinx+cosx)2-1] =(t2-1)
所以y =(t2-1)+t =(t+1)2-1
当t = -1时,ymin = -1
当t =时, ymax =+
故函数的值域为 [-1,+] 。
(二)常量换元法
例4 已知f(x) = 2x5+3x3-x2-4x+12, 求f(1-)的值。
解:设1-= x 则x2+2x-1 = 0
∵ 2x5+3x3-x2-4x+12 = (2x3-4x2+13x-31)(x2+2x-1)+
71x-19
= 71x-19
∴ f(1-) = 71(1-)-19
= 52-71
小结:利用常量换元法构造零因子,使计算量大大减小。充分体现常量换元法在解题中的精妙作用。
问题推广:
例5已知f(x-3) = 2x2+5x-6, 求f(x)的解析式。
解:令x-3 = t 则x = t+3
把x = t+3代入f(x-3) = 2x2+5x-6 得:
f(t) = 2(t+3)2+5(t+3)-6
= 2t2+17t+27
所以 f(x) = 2x2+17t+27
小结:常量换元法是求函数解析式的常见方法。
(三)比例换元法
例6 若== 求证:
sin2(α-β)+ sin2(β-γ)+ sin2(γ-α)=0
证明: 设===
则x=Rtan(θ+α) y=Rtan(θ+β) z=Rtan(θ+γ)
sin2(α-β)= 〔cos2(θ+β)-cos2(θ+α)〕
sin2(β-γ)= 〔cos2(θ+γ)-cos2(θ+β)〕
sin2(γ-α)= 〔cos2(θ+α)-cos2(θ+γ)〕
将上述三式相加得:
sin2(α-β)+ sin2(β-γ)+ sin2(γ-α)=0
小结:注意题型结构特点,类似比例式子,利用适当换元,通过三角运算,使问题化繁为简,更容易解决。
(四)标准量换元法
例7设a1,a2 ,a3,…,a2004均为实数,
若a1+a2+a3+…+a2004=2004 …… (1)
…… (2)
求证:=2004
证明:令a1=1+m1, a2=1+m2, a3=1+m3 , …,a2004=1+m2004
由(1)式可得:
m1+m2+m3+…+m2004=0 …… (3)
由(2)式可得
(1+m1)2+(1+m2)2+(1+m3)2+…+(1+m2004)2=2004
将其展开并将(3)代入,化简得:
=0
故:
m1=m2=m3=m2004=0
即:
a1=a2=a3=…=a2004=1
所以:
小结:例中选“1”作为“标准量”,把a1,a2 ,a3 …a2004都用“1”和辅助量m1,m2,m3, …,m2004表示。此种方法为“标准量换元法”。
(五)三角换元法
例8(1)以知x>0,y>0,且,求x+y的最小值
(2)解不等式:
解:(1)设=cos2θ, sin2θ (0<θ<)
则x+y=
=10+tan2θ+9cot2θ≥10+2 tanθ3cotθ=16
故:
当tanθ=3cotθ 即,此时 x=4 , y=12
(x+y)min=16
(2) 令x=2sinθ (-)
则不等式化为:2cosθ≥2sinθ
解之得:-
从而-2≤2 sinθ≤1 即 -2≤x≤1
说明:若变量x的取值范围可转化为:-1≤x≤1或-1 例9 已知 : 1 ≤ x2+y2 ≤ 2 求证 : ≤ x2-xy+y2 ≤ 3 证明: ∵ 1 ≤ x2+y2 ≤ 2 可设x = rcosθ , y = rsinθ 其中 , 0 ≤θ ≤2 ∴ x2-xy+y2 = r2-r2 sinθcosθ = r2(1-sin2θ) ∵ ≤ 1- sin2θ ≤ ∵ r2 ≤ r2(1-sin2θ) ≤ r2 而 r2 ≥, r2 ≤3 ∴ ≤ x2-xy+y2 ≤ 3 小结:1.对于一些不等式通过适当的三角换元,把问题更加明显化。 2.凡条件为x2+y2 = 1 或x2+y2 ≤ r2 或 等均可以运用三角换元法。但要注意换元后r、θ的限制条件,如比例9中r的范围。 问题的推广: 例10 在△ABC中,a、b、c 分别是角A、B、C的对边。若c2=a2+b2 则△ABC是直角三角形。现在请你研究:若an+bn=cn ( n>2且n∈N ) 则△ABC为何三角形?为什么? 解:∵an+bn=cn 故:令an=cncos2 θ bn=cn sin2θ (0<θ<) 从而:a2=c2 b2=c2 ∴a2+b2= c2 (+)>c2()=c2 由cosθ=>0 即 ∠C为锐角,又c为最大边 故:△ABC为锐角三角形。 (六)增量换元法 例11 求证:对任意实数a>1, b>1 有不等式 证明:设a=1+x , b=1+y , x, y∈R 则 = 当且仅当 x= y =1 即a = b =2时取等号 此题解法为增量换元法。所谓增量换元法就是用相关变量x代换m+t,其中m为恰当的常数,因此严格地说起来,未必一定是增量;另外从本质上讲这种代换仍然是线性的,这样像上面例11中的1-2y=t的基本代换也是线性代换或增量代换。又如: 例12求函数f(x)=+的最大值和最小值。 解:由 解得 4≤x≤5,即函数的定义域是:4≤x≤5, 所以 x是4与5之间的一个变化的量。 因此 可设 x = 4+sin2θ (0≤θ≤) , 则 f(x) = sinθ+cosθ = 2sin(θ+) 当θ =时,f(x)取得最大值2; 当θ =时,f(x) 取得最小值1 小结:此例既是三角换元法,又属增量换元法。通过换元后转化为三角知识使问题得到了巧妙的解决。 问题的推广: 例13 已知实数a1,a2,a3, …,a8满足a1+a2+a3+…+a8=20, a1a2a3…a8=12 求证:a1,a2,a3, …,a8中至少有一个小于1。 证明: (反证法) 设a1,a2,a3, …,a8 中没有一个小于1。 令 a1=1+t1,a2=1+t2, a3=1+t3 , … , a8=1+ t8 , t1 ,t2 ,t3 , … , t8≥0 且 t1 +t2 +t3 + … + t8= a1+a2+a3+…+a8-8=12 a1*a2*a3*…* a8=(1+t1)(1+t2)(1+t3)…(1+ t8) =1+( t1 +t2 +t3 + … + t8)+ …≥13 这与以知a1a2a3…a8=12 相矛盾。 (七)参数换元法 例14 已知x2+4y2+8x4+7=0,求x2+y2的最小值且求相应的x、y的值。 解:由x2+4y2+8x4+7=0,得:(x+4)2+4y2=9 再变形为: 设 (θ为参数 0≤θ≤2π) 则: x2+y2=16-24cos 因为:cosθ< 所以:当cosθ = 1时,(x2+y2)min= 1, 此时x = -1 y = 0 当cosθ = -1时,(x2+y2)max= 49 , 此时x = -7 y = 0 小结:对于条件是圆锥曲线所对应二元二次方程,同时求两个变量x、y的结构式F(x,y)的最值都可以用参数换元法去解决。 (八)参变量换元法 例15 计算 解:设z = 则 z17=-1 z34 =1 同理: 原式= = = 例16 计算 的值 解:令x=>0 -------(1) 对(1)两边平方得: x2== 再解方程2x2+5x-3=0,并取正根得: x=,即得解。 例17 已知椭圆 = 1,定点A(1,1),若过点A的弦PQ所在 直线的方程。 解: ∵ 点A(1,1)是弦PQ的中点, 故 可设P (1-m,1-n), Q (1+m,1+n) ∵ 点P、Q在椭圆 = 1上, ∴ (1)-(2) 得 -4m - 16n = 0 y p 即 A · x Q o ∴直线PQ的斜率为 kPQ = -, 故PQ所在直线的方程为: y-1 = -(x-1) , 即: x+4y-5 = 0 小结:利用设变量解题,也是换元思想的应用。此题增设未知量,将线段端点坐标与中点坐标之间的关系巧妙地结合起来,使问题思路清晰,过程简单,是换元思想的最佳情界。 (九)多元换元法 例18若a+b+c=1,求证:a2+b2+c2≥ 证明:令a=+α b=+β c=+γ 则有:α+β+γ=0 又 a2+b2+c2=(+α)2 +(+β)2 +(+γ)2 = +2(α+β+γ)+(α2+β2+γ2)≥ 例19已知 求证: 证明:令 则题设变为: 由(2)得: 由(1)得:()2 =1 即: ∴ 即: 小结:由于事物的质和量是有多种因素决定的,如改变其中每一因素就可能产生新的思路,在求解数学问题中,使用的“多元换元法”解题,可以使问题化繁为简,更容易坚决。 综上所述,换元思想方法在数学解题中有着不可低估的作用。总结解题的规律和技巧,强化思维训练,对提高学生分析问题、解决问题的能力将是十分有益。也能全面提高学生素质,培养和提高学生创造能力。因此,我们更有必要对数学方法进行再认识,全面提高教学质量。