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author:何伟宝

这里重点是一般传输规律和矩形波导, chapter6 电磁波的传输

[TOC]

说白了也就是从麦克斯韦方程式抽象出我们需要的波动方程,流程如下:

在无源自由空间场量中(由麦克斯韦方程式):

在波导中,设电磁波沿着z轴传输:

其中有:

在上一章说过他也是一个 传播常数 ,当 为实数时,信号衰减.虚数时信号传播,且波数为其虚部

这里有意地把纵横量分开了:

顺便把拉普拉斯算符 也分开:

将矢量分解的三个方程先带入(1.3)(1.4)再代入(1.1)(1.2), 只截取纵向分量 得:

再将上式改写成(1.3)(1.4)形式:

考虑麦克斯韦方程的旋度式:

联立上四式可得六个标量方程:

千万不要慌,由麦克斯韦美好的对称性可以知道,我们只要算一对叉乘就可以了,由对称性:

联立以上六式可得(解这个会有点痛苦,但是这不重要)纵横关系式:

其中:

如果不用书本的表示方法的话,你会发现一点公式的美学...

自此,纵向常量法就介绍完成了.这里的重点在于纵横关系式

这一小节解决的问题是,某种电磁波要在波导中传输的存在可能性问题.重点有TEM,TE,TM波等.并且提供假设各种波存在的时候,怎么求解波动方程的思路.

还是回到我们熟悉的波动方程,可以把上面的纵横关系式:

显然这一节的教材安排是不合理的...因为在TEM波中:

显然代入纵横关系式中,全军覆没......所以分析横电磁波的时候不能采用纵向常量法得到直接表达式

这时候我们可以代入得到纵横关系式前面一点的关系式中:

那么我们就可以知道,代入纵横关系式会凉凉的原因是,(tem)他看上去就是一个静态场的方程,用麦克斯韦旋度式便变成0了.

这也启发我们,在求解TEM波动方程的时候,之需要先算出导波的横向分布函数,再乘以纵向传播因子 就可以得到波动方程了.而且并不是每一种波导都会有TEM模.

首先说明的一点是:空心波导只能传输TM或TE波,不能传输TEM波,因为在无外源的无限长导体空管中不可能存在静电场

书上P175,结合来看吧..(懒得打字)

由(2.1)可知

解得

所以相速为:

可以看出TEM模导行波是与频率无关的非色散波

由(标量2)和(标量6)并代入TEM的定义式:

代入 得(注意,求解不是联立.只要用其中一条代入就行了)

可以看出, 和频率是没有关系的.

所以: TEM模在任何频率下都能传播非色散横电磁波

在TM波中, 和 .所以只需要代入(波动1),同理:

在TE波中, 和 .所以只需要代入(波动2)

可以看出,无论是哪一种, 都不会等于0,所以:

被称为波导中TM波和TE波的存在条件。

由传播因子 可以知道，在 时,传播截止.这个时候有

所以有:

解得:

其中, 被称为 截止频率或临界频率 (c to cut),所以反过来求 得:

可以看出:

当 时,传播因子变成了 ,是一个衰减型凋落场

当 时,传播因子变成了 ,表示一个传播型色散行波

当 时,因为是一个色散波,我们可以来讨论一下他的相速,由上面:

所以有,相速:

波导内波导行波的波长称为波导波长:

表明导行波是与频率有关的色散行波

由纵横关系式,结合tm波的特征可得:

所以定义TM波的波阻抗为:

消去 得:

按照TM波的套路,代入 得:

由上面可以得出:

可以看到TE和TM波的波阻抗具有互易性

这里也是要做纵横关系式求解的最后一步, 代入边界条件

由前面就可以知道, 矩形波导不能传播TEM波

首先假设矩形波导的数学模型:

其中 称为截止波数.

公式的意义是很明确的:

传播TM波的时候矩形波导的边界都没有电场强度

以下是我以为的原因(有异议可以评论,大家互相学习一下)

由于我们想求的纵横关系式中,x和y是独立分开的.所以假设:

代入波动方程并化成常微分方程得:

其中:

显然特征方程的根是两个纯虚数,故设通解:

分别代入边界条件可得(书上P176):

其中: 由激励源强度确定

大概的思路是先带入x=0和y=0那两条,算出B,D=0再代入剩下两条即可.

现在求出了 的表达式,显然,代入一般情况可得:

其中:

由TE,TM的存在条件可以知道,当m=n=0时,方程无意义

由于和TM是同一个套路,这里就直接给公式了:

同理:m=n=0时,公式无意义

这里对应的是P178,下面列举出来只作复习回想用:

之前在一般传输特性就讲过这个问题,只是k可以由m和n给出,所以回代得:

由上一个性质可以知道,在截取频率之前的波形都会因为传播常数的实部不为0而全部被去掉

所以当f> 时( ):

这个由截止性就知道,低于截止频率的波阻抗呈阻性,高于的呈电抗性:

用主模传输的重点问题在于 单模传输 单模传输 单模传输 单模传输

至于为什么 是主模的话,就不说了,你只要把 m,n的各个值代进去纵横关系式,就可以知道了

...其他三个为0...

根据前面说的那些,代入m=1,n=0得:

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因为这里写了比较多的波动方程,所以会有点长!

想我尽早更新的方法之一