手动开平方两种常见的方法有牛顿迭代法或二分法。

1、牛顿迭代法：假设要开平方根的数为x，我们可以从一个初始猜测值x0开始，通过迭代来逐步逼近真实的平方根。

首先，我们可以使用函数f(x)=x^2-a（其中a为要开方的数）来构建一个切线，切线与x轴的交点即为下一个迭代值x1。然后，我们再次使用x1来构建新的切线，求得x2，以此类推，不断迭代直到满足精度要求。

迭代公式为：xn+1 = xn - (f(xn)/f'(xn))，其中f'(xn)表示f(x)在xn处的导数值。通过多次迭代，最终可以得到近似的平方根值。

2、二分法：通过将待开方的数不断分割为两半，然后根据中间值与目标值的大小关系，确定下一次迭代的区间范围。

首先，我们可以设定一个初始的区间范围，比如通过将0到x之间的值一分为二。然后，将该区间的中点值与目标值进行比较。若中点值的平方小于目标值，则将该中点作为下一次迭代的左边界；若中点值的平方大于目标值，则将该中点作为下一次迭代的右边界。通过二分法的不断迭代，最终可以得到近似的平方根值。

需要注意的是，无论使用牛顿迭代法还是二分法，为了保证迭代结果的精度，通常需要设置一个停止条件，例如迭代次数或者结果的相对误差等。手动开方的计算方法可能相对繁琐且耗时，因此在实际应用中，通常使用计算器或计算机来进行开方运算。这些电子设备能够更快速准确地进行开方的计算。

手动开方的应用场景和作用

1、教育和学习：手动开方可以帮助学生理解平方根的概念和计算方法，培养他们的数学思维和计算能力。通过手动计算开方，学生可以更好地掌握数字之间的关系和运算规则。

2、故障排除和问题解决：有时在实际生活或工作中，需要对某些数值进行估算或粗略计算。手动开方可以提供一个快速的近似结果，帮助解决一些简单的数值问题和估算需求。

3、数值验证和检验：手动开方可以帮助验证计算机或计算器的开方结果的准确性。通过手动计算开方并与电子设备的结果进行比较，可以发现潜在的计算错误或精度问题。

4、数学推导和研究：在一些数学推导和研究领域，手动开方可能会有一定的应用。因为手动计算可以展示数学概念和推导的过程，帮助人们更深入地理解和掌握相关数学原理。

需要指出的是，手动开方方法主要适用于较小的数和较简单的计算，对于较大的数和高精度计算，使用计算器或计算机更为合适。此外，在实际应用中，还可以使用近似方法或其他数值方法来进行更复杂的开方计算。