数列极限的定义证明过程如下：

一、定义数列极限

lim (x[n])=a n→∞

表示当n无限增大时，数列x[n]的值无限接近于常数a。

二、给出数列极限的等价定义

对于任意给定的正数ε，总存在一个正整数N，使得当n>N时，有|x[n]-a|<ε。

这个定义与直观意义相符：ε越小，N越大；当n>N时，x[n]与a的距离小于ε。

三、证明数列极限的等价定义

假设lim (x[n])=a，取定一个正数ε，要找出一个正整数N，使得当n>N时，有|x[n]-a|<ε。

根据数列极限的定义，我们知道存在一个正整数N，使得当n>N时，x[n]与a的距离小于ε。

因此，当n>N时，有|x[n]-a|<ε。

数列极限的定义的学习方式：

一、理解极限的基本概念

极限是数学分析中的一个重要概念，它描述了一个函数或数列在某个点附近的趋势。在理解极限之前，需要先了解函数和数列的基本概念，包括定义域、值域、函数图像等。

二、学习数列极限的严格定义

数列极限的严格定义是数学分析中的一个基础内容，它规定了数列在无限增大时收敛于某个常数的条件。在理解定义的过程中，需要注意一些关键概念，如“无限增大”、“收敛”、“常数”等。

三、掌握极限的性质和计算方法

极限的性质包括唯一性、局部有界性、局部保序性等。掌握这些性质有助于理解极限的运算法则和计算方法。此外，还需要学习一些常用的极限计算方法，如四则运算法则、等价无穷小替换、洛必达法则等。