当一阶微分方程写作 P(x,y) dx + Q(x,y) dy = 0 的形式时，如果它的左端可以表示为某个函数 u(x,y) 的全微分 du(x,y) = P(x,y) dx + Q(x,y) dy，那么这个方程被称为全微分方程。其中，u(x,y) 的偏导数与 P(x,y) 和 Q(x,y) 关联，即

5u/5x = P(x,y)，5u/5y = Q(x,y)。求解全微分方程的关键在于找到原函数 u(x,y)。本文将介绍一种简捷的求解方法，并附带证明过程。

首先，为表述方便，定义两个记号：

1. "M(xq,y)" 表示 M(x,y) 减去其中含 x 的项；

2. "M(x,yq)" 表示 M(x,y) 减去其中含 y 的项。

举个例子，M(x,y) = xy + xey + (1-x) + sinx + cosx cosy + y^2 + 1，应用记号后得到 M(xq,y) 和 M(x,yq) 的表达式。

当函数 P(x,y) 和 Q(x,y) 在某单连通区域 G 内具有连续偏导数时，存在原函数 u(x,y) 满足 P(x,y) dx + Q(x,y) dy 是 u(x,y) 的全微分的充要条件是 5P/5y = 5Q/5x 在 G 内恒成立。这时，u(x,y) 的可能形式是 u(x,y) = ∫P(xq,y) dx + ∫Q(x,y) dy 或 u(x,y) = ∫P(x,y) dx + ∫Q(xq,y) dy。

通过详细的计算和应用引理，可以证明 u(x,y) 的偏导数确实等于 P(x,y) 和 Q(x,y)，从而验证了上述形式的正确性。以一个具体的微分方程为例，如 (2x cosy + y^2cosx) dx + (2y sinx - x^2siny) dy = 0，由于满足全微分方程的条件，我们能计算出原函数 u(x,y) = y^2sinx + x^2cosy，进而得到方程的通解。

扩展资料

在微积分中，一个函数f 的不定积分，或原函数，或反导数，是一个导数等于f 的函数 F ，即F ′ = f。不定积分和定积分间的关系由微积分基本定理确定。其中F是f的不定积分。这样，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。